Definitionen Menge, Funktion (Mathematische Grundbegriffe)

Question 1

Definition Menge

+Notation

Answer 1

• Definition Menge (vereinfacht): Unter einer Menge versteht man eine Zusammenfassung von verschiedenen einzelnen Elementen.
• Die Elemente können hierbei nahezu beliebige Objekte sein: z.B. Zahlen, Personen, Messwerte oder auch selbst wieder Mengen.
• Notation:

1. Mengen werden gewöhnlich mit Großbuchstaben bezeichnet (die am Anfang des Alphabets stehen → Abgrenzung von Funktionen): A, B, C etc.
2. Mengen von Zahlen haben oft besondere Symbole: ℕ, ℤ, ℝ etc.
3. Will man Mengen unter Angabe ihrer Elemente bezeichnen, verwendet man geschweifte Klammern, z.B. A = {1, 2, 3} für die Menge, die als Elemente die Zahlen 1, 2 und 3 besitzt.
4. Ist ein Element x in einer Menge A enthalten, schreibt man 𝑥∈𝐴.
5. Eine Menge, die keine Elemente enthält, wird leere Menge genannt und mit dem Symbol ∅ bezeichnet.

Question 2

Mengen 5 Bemerkungen

Answer 2

• Bermerkung I: Es ist sehr wichtig, zwischen einem Element und einer Menge, die nur dieses Element enthält, zu unterscheiden.z.B.: {1 }≠ 1
• Bemerkung II: Enthält eine Menge A einen Teil der Elemente einer Menge B und ansonsten keine weiteren Elemente, sagt man, dass A eine Teilmenge von B ist und schreibt A ⊂ B.

Bsp.: A = Stichprobe, B = Population

• Bemerkung III: Seien A und B zwei Mengen. Eine Menge C, die alle Elemente enthält, die in A oder in B enthalten sind und ansonsten keine weiteren Elemente, nennt man Vereinigungsmenge von A und B ist und schreibt C = 𝐴 ∪ 𝐵 .

Bsp:A= 1,2,3 ,B= 2,3,4 ,C= 𝐴∪𝐵= 1,2,3,4

• Bemerkung IV: Seien A und B zwei Mengen. Eine Menge C, die alle Element enthält, die in A und in B enthalten sind und ansonsten keine weiteren Elemente, nennt man, C die Schnittmenge von A und B und schreibt C = 𝐴∩𝐵.

Bsp:A= 1,2,3 ,B= 2,3,4 ,C= 𝐴∩𝐵= 2,3

• Bemerkung V: Will man alle Elemente einer Menge A, die eine bestimmte Eigenschaft E aufweisen, zu einer neuen Menge C zusammenfassen, schreibt man C = {𝑥 ∈ 𝐴: 𝐸}

Bsp:Menge der positiven reellen Zahlen ℝ₊= {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥>0}

Question 3

Definition Funktion

Answer 3

Definition Funktion (vereinfacht): Eine Funktion weist allen Elementen einer Menge A genau ein Element aus einer anderen Menge B zu.

• Die Menge A wird hierbei auch Definitionsmenge und die Menge B Wertemenge genannt.
• Funktionen können in vielen Fällen auch graphisch dargestellt werden. Hierbei wird die Definitionsmenge auf der x-Achse und die Wertemenge auf der y-Achse abgetragen.