Zufallsexperimente, Wahrscheinlichkeitsverteilungen, Zufallsvariablen Flashcards
(16 cards)
Definition Zufallsexperiment
Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, der mehr als einen möglichen Ausgang hat und bei dem wir vorher nicht wissen, welcher dieser Ausgänge eintreten wird.
- (Charakteristika des Zufallsexperiments:
- Es existiert eine Menge möglicher Ausgänge des Zufallsexperiments.
- Es ist vor der Durchführung unbekannt, welcher der möglichen Ausgänge tatsächlich eintreten wird (Zufallsabhängigkeit).)
- Wichtig: Ein Zufallsexperiment muss kein „Experiment“ im klassischen Sinne sein.
Definition Ergebnis (Zufallsexperiment)
Die möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiment nennt man Ergebnisse. Ein beliebiges Ergebnis wird mit dem Symbol 𝜔 bezeichnet.
Definition Ergebnismenge (Zufallsexperiment)
Wenn man alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments in einer Menge zusammenfasst, erhält man die Ergebnismenge. Sie wird mit dem Symbol Ω bezeichnet.
Definition Ereignis(Zufallsexperiment)
Ein Ereignis ist eine Teilmenge von Ω, Ω selbst oder die leere Menge. (Jede Zusammenfassung verschiedener Ergebnisse eines Zufallsexperiments in eine Menge ist damit ein Ereignis.)
Wir bezeichnen Ereignisse meistens mit Großbuchstaben, die am Anfang des Alphabets stehen: A,B,…
Definition Elementarereignis (Zufallsexperimente)
Enthält eine Ereignis nur ein Element, spricht man von einem Elementarereignis.
Definition Ereignismenge (Zufallsexperiment)
Wenn man alle möglichen Ereignisse in einer Menge zusammenfasst, erhält man die Ereignismenge. Die Ereignismenge wird mit dem Symbol 𝒜 bezeichnet. 𝒜 ist somit die Menge aller Teilmengen von (Ω selbst ist auch eine Teilmenge von 𝒜)
Definition Wahrscheinlichkeitsverteilung
- (Wie gehen von einem Zufallsexperiment mit der Ergebnismenge Ω, und der Ereignismenge 𝒜 aus.)
- Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung P ist eine Funktion, die jedem Ereignis aus der Ereignismenge 𝒜 eine Wahrscheinlichkeit in Form einer reellen Zahl zuweist, formal
P: 𝒜⟶ ℝ
A⟶ P(A)
und die folgenden Eigenschaften(Kolmogorov-Axiome) besitzt :
Eigenschaft 1: P(A)>0
Eigenschaft 2: P(Ω)=1
Eigenschaft 3: Wenn P(A∩B)=0, dann ist P(A∪B)=P(A)+P(B)
Interpretation von Wahrscheinlichkeitsverteilung
- Die Definition der Wahrscheinlichkeitsverteilung als Funktion, die die Kolmogorov-Axiome erfüllt ist eine rein formale mathematische Definition.
- Sie legt nicht fest, wie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse tatsächlich interpretiert werden können, also was Aussagen wie P{(𝐾𝑜𝑝𝑓)}=0.5 bedeuten.
- Es gibt verschiedene Interpretationen von Wahrscheinlichkeiten, die sich jedoch alle im formalen Rahmen der Kolmogorov-Axiome bewegen.
- Die wichtigsten sind:
- Die intuitive alltagssprachliche Interpretation (erfüllt häufig nicht die Axiome)
- Die frequentistische Interpretation
- Die bayesianische Interpretation
- Die logische Interpretation
Frequentitische Interpretation
- Ausgangspunkt: Die hypothetische Überlegung, dass das Zufallsexperiment n mal unter identischen Bedingungen durchgeführt werden könnte.
- Bei jedem dieser Durchgänge könnte man dann feststellen, ob ein Ereignis A aufgetreten ist oder nicht. Die Anzahl aller Durchgänge, in denen A eingetreten ist, wird mit 𝑛A bezeichnet.
- Der Quotient Der Quotient 𝑛A/𝑛 ist die relative Häufigkeit des Auftretens des Ereignisses A bei 𝑛 Durchgängen des Zufallsexperiments.
- Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A wird dann als Grenzwert dieser relativen Häufigkeit bei 𝑛→ ∞ (Illustration Münzwurf: bei wachsendem n stabilisierung des Quotienten 𝑛A/𝑛 um einen konstanten Wert –> Grenzwert; Interpretation Aussage P 𝐾𝑜𝑝𝑓 = 0.5: Wenn man die Münze undendlich oft werfen, würde bei 50% dieser Würfe Kopf oben landen)
DefinitionZufallsvariablen
+3 Bemerkungen
Eine Zufallsvariable (ZV) isz eine Funktion X, die jedem Ergebnnis 𝜔 ∈ Ω eine reelle Zahl X(𝜔) ∈ R zuordnet:
X: Ω ⟶ R
𝜔 ⟼ 𝑋(𝜔)
- Bemerkung I: In vielen Fällen repräsentieren Zufallsvariablen einen Messvorgang: Ω ist dann die Menge der Merkmalsausprägungen, denen durch 𝑋 jeweils ein Variablenwert zugeordnet wird (siehe VL 1).
- Bemerkung II: Durch Zufallsvariablen können bestimmte Aspekte des Zufallsexperiments abgebildet werden.
- Bemerkung III: Man kann für ein einzelnes Zufallsexperiment mehrere Zufallsvariablen betrachten.
Realisationen von Zufallsvariablen
Nach der Durchführung des Zufallsexperiments tritt ein Ergebnis 𝜔 ein und die Zufallsvariable 𝑋 nimmt einen Wert x = 𝑋(𝜔) an.
→Dieser Wert x wird Realisation der ZV X genannt
Notation:
Realisationen von ZVs werden mit den den ZVs entsprechenden Kleinbuchstaben bezeichnet.
Definition neuer Ergebnisse und Ereignisse (ZV)
Die Menge aller möglichen Realisationen einer ZV 𝑋 nennt man Träger Tx (der ZV). Sie stellt eine neue Ergebnismenge (der ZV) dar, diesmal bestehend aus Zahlen.
Die Teilmengen des Trägers 𝑇x sind neue Ereignisse 𝐴x.
Die Menge aller dieser Ereignisse ist ein neuer Ereignisraum 𝒜x.
Neue Wahrscheinlichkeitsverteilung I
(der ZV)
Jede ZV X hat eine Wahrscheinlichkeitsverteilung 𝑃x, die jedem Ereignis 𝐴x aus 𝒜x eine Wahrscheinlichkeit 𝑃x(Ax) zuweist.
𝑃x kann aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung 𝑃 des zugrundeliegenden Zufallsexperiments wie folgt berechnet werden:
𝑃x(𝐴x) =𝑃({𝜔∈Ω:𝑋(𝜔)∈𝐴x})
In Worten: Die Wahrscheinlichkeit 𝑃x eines Ereignisses 𝐴x entspricht der Wahrscheinlichkeit desjenigen Ereignisses, dessen Elemente durch die ZV X Werte zugewiesen bekommen, die in 𝐴x liegen.
Bemerkung zur Notation:
- Statt 𝑃x({xj}) schreiben wir auch einfach P(X=xj)
- Statt Px({x∈Tx:x≤c}) schreiben wir auch einfach P(X≤c)
Neue Wahrscheinlichkeitverteilung II
- In vielen Fällen interessiert man sich nur für die Wahrscheinlichkeitsverteilung Px der Zufallsvariable und nicht für die zugrunde ligende Wahrscheinlichkeitsverteilung P.
- Man gibt Px dann einfach direkt an, ohne zuerst P anzugeben und dann Px aus P zu berechnen.
Diskrete und stetige Zufallsvariablen
Wie bei „normalen“ Variablen (siehe VL 1) unterscheidet man zwischen diskreten und stetigen Zufallsvariablen:
- Von diskreten Zufallsvariablen spricht man, wenn der Träger eine endliche Anzahl an unterschiedlichen möglichen Realisationenenthält, d.h. 𝑇x ={𝑥1,𝑥2,…,𝑥j,…,𝑥m}
- Von stetigen/kontinuierliche Zufallsvariablen spricht man, wenn der Träger eine unendliche Anzahl an unterschiedlichen möglichen Realisationen (mit unendlich feinen Abstufungen) enthält, z.B. 𝑇x = ℝ oder 𝑇x = [0, 1].
Notation von Zufallsvariablen
Zufallsvariablen werden im Allgemeinen mit Großbuchstaben bezeichnet: X, Y, etc
