Deformálható testek mechanikája Flashcards
FESZÜLTSÉG
• Különböző deformációk esetén?
A felületre ható erő, minden jellegű deformálhatóságra jellemző.
σ = F/A
• hosszirányú: σ = ΔF(_merőleges)/A, térfogati, tiszta összenyomás: σ = ΔF/A = Δp, nyírási: τ = ΔF(_tangenciális)/A
DEFORMÁCIÓ
• Típusai?
Az anyag feszültség hatására bekövetkezett alakváltozása. (Az anyag molekuláris tulajdonságaitól függ, nem a méreteitől, így dimenziótlan.)
ε = méretváltozás/eredeti méret
— hosszirányú: ε = Δl/l, F merőleges A-val
— térfogati: ε = ΔV/V, a test minden felületére merőlegesen erő hat, de no alakváltozás
— nyírási: ε = u/l = tgγ, az erő a legfelső felületre érintőlegesen hat, a térfogat változik, de az alak nem
Rugalmas anyagok?
• Rugalmassági határ? Törési/szakítószilárdság?
Olyan anyagok, amelyekre érvényes a Hooke-törvény, azaz ahol a deformáció arányos a feszültséggel (σ ~ ε).
• Minden anyagnak van egy határa, amin túl az alakváltozás maradandó. Ha a feszültség még tovább növelve van, az anyag eltörhet/elszakadhat.
F(h) határerő —> F < F(h): rugalmas alakváltozás
F > F(h): maradandó alakváltozás
RUGALMASSÁGI MODULUSZOK
A test méretének változását mondja meg erő hatására; a feszültség és a deformáció közötti arányossági tényező. Csak akkor érvényesek, ha a megváltozások kicsik.
— YOUNG-MODULUSZ: E = σ/ε
— KOMPRESSZIÓS MODULUSZ: K = –σ/ε = –p/ε
— NYÍRÁSI MODULUSZ: G = τ/ε = τ/tgγ ≈ τ/γ
Rugalmassági állandók kapcsolatai?
• Poisson-szám? Kompresszibilitási együttható?
— tiszta nyújtás: ΔV/V = (1 –2μ)σ/E
— tiszta összenyomás: ΔV/V = –(1 –2μ)σ/E = –(1 –2μ)p/E (egyirányban), ΔV/V = –3(1 –2μ)p/E (térfogati)
— térfogati összenyomás: ΔV/V = (1 –2μ)σ/E = –κp
• Poisson-szám: | Δd/d| = μ*ε, a kereszt- és hosszirányú alakváltozás viszonya
Kompresszibilitási együttható: κ = 1\K
Deformációs (rugalmas) energia?
• Rugalmas energiasűrűség?
A nyújtás közben végzett munka.
W = 1/2VEε^2 = 1/2Vσε vagy W = 1/2Vτ*γ
• w = W/V = 1/2σε vagy w = 1/2τγ
CSAVARÁS
• Összefüggés a forgatónyomaték és a φ szögelfordulás között?
Összetett folyamat, több elemi nyírás forgatónyomaték hatására.
Pl. egy megcsavart rudat csövekre bontva, majd a csövek falának egyes hasábjai tisztán nyíródnak, különböző mértékben és irányban.
• Egy-egy elemi hasábra:
γ = u/l = rφ/l —> τ = Gγ = Grφ/l
dA = rdαdr —> dF = τ(r)dA —> dM = dFr
dM = r^2τdαdr = r^3Gφ/ldαdr
Az egész csőre kiintegrálva: M = ∫(_0^R) ∫(_0^2π) dM = πG/2lR^4φ
Torziós inga?
- Direkciós nyomaték?
- Mozgásegyenlet?
- Megoldás? Periódusidő?
A forgatónyomatékot a drót belső erői adják (ami meg van csavarva).
- M = πG/2lR^4φ = (D)φ —> D = πG/2lR^4
- M = –(D)φ = Θβ —> φ” + (D/Θ)*φ = 0
- φ = φ0sin(ω0t + α) —> ω0 = √[(D)/Θ], T = 2π√[Θ/(D*)]
HAJLÍTÁS
- A folyamat?
- Neutrális zóna?
- Behajlás?
- Kihajlás?
Összetett rugalmas alakváltozás, ahol egy meghatározott közbülső féteg fölött és alatt, azaz különböző tartományokban különböző erők (hol összenyomás, hol nyújtás) lépnek fel.
- Külső F_k külső erő hatására alakváltozás következik be, ami belső F_b erőket eredményez, és ez a kettő tart egyensúlyt, mivel a belső feszültségből származó belső erők a neutrális réteg körül visszatérítő nyomatékot gyakorolnak.
- Az a tartomány a testen belül, ahol L = állandó, azaz a meggörbült, de változatlan hosszúságú réteg.
- A két végén alátámasztott, közepén F erővel terhelt rúd az erő hatására behajlik. Úgy viselkedik, mintha középen lenne befogva, és felfele F/2 erő hatna felfele a fele hosszúságú rúdra mindkét felén.
- Egy adott kritikus erő esetén hosszirányú terhelésnél a test kihajlik, képlékeny alakváltozás.
MÁSODRENDŰ FELÜLETI NYOMATÉK
- A neutrális görbe egyenlete?
- A lehajlás mértéke?
A test hajlítással szembeni ellenállásának mértéke, amelyet a neutrális rétegre, mint tengelyre kell képezi.
I = ∫ρ^2 dA állandó keresztmetszetre, ahol ρ a dA elemi felület távolsága az x tengelytől.
- EI/R(x) = F(L–x)
- y(x) = F/(EI)(Lx^2/2 – x^3/6), azaz a befogási ponttól távolodva a lehajlás mértéke köbösen változik. A rúd végén a teljes lehajlás: y(L) = FL^3/3EI
ELMOZDULÁSTENZOR
• Műveletekre bontva?
U = ∂U(i)/∂r(k), ahol i,k = x,y,z
Rugalmas deformáció során (kis elmozdulásokkal) leírja a test pontjainak elmozdulását (Δr —> Δr’).
• U = ε + a —> Δr’ = IΔr + aΔr + εΔr, ahol
IΔr a transzláció,
aΔr a rotáció,
εΔr pedig az alak- és térfogatváltozásokkal járó deformációs elmozdulás.
DEFORMÁCIÓS TENZOR
- Diagonális elemek?
- Vegyes indexű elemek?
- Sajátvektoros bázisban?
- Térfogatváltozás?
Az elmozdulástenzor szimmetrikus része.
ε(ik) = [U(ik) + U(ki)]/2 = ε(ki) = 1/2[∂U(i)/∂x(k) + ∂U(k)/∂x(i)]
• ε(ii): a koordinátatengelyek irányába eső szakaszok relatív hosszváltozásai (azaz tiszta nyújtás vagy összenyomás).
• ε(ik): Az i irányú egységvektor k irányba való nyírása.
• Mivel a tenzor szimmetrikus, átvihető a főtengely-rendszerébe, így minden deformációs folyamat tiszta nyújtásokkal és összenyomásokkal is leírható.
• V = ΔxΔyΔz, V’ = Δx’Δy’Δz’ = (1 + ε11)(1 + ε22)(1 + ε33)ΔxΔyΔz
A relatív térfogatváltozás: ΔV/V = (V’ – V)/V ≈ ε11 + ε22 + ε33 = Trε = állandó, tehát nem függ a koordinátarendszertől (mivel ε(ii)*ε(kk) ≈0).
FORGÁSTENZOR
Az elmozdulástenzor antiszimmetrikus része.
a(ik) = [U(ik) – U(ki)]/2 = –a(ki) = 1/2[∂U(i)/∂x(k) – ∂U(k)/∂x(i)]
NYÚJTÁS
- Deformáció? Feszültség?
- Hooke-törvény?
- Rugalmassági modulus?
- Nyújtás közben végzett munka? Rugalmas energiasűrűség?
(A rugó feszítésévek ekvivalens eset.)
F/A ~ Δl/l —> F/A = E*Δl/l
A huzal egyenlő szakaszainak megnyúlása egyenlő mértékben járul hozzá a teljes megnyúláshoz, azaz egyenletes a megnyúlás.
• ε = Δl/l, σ = F/A
• A relatív hosszváltozás egyenesen arányos a külső erő hatására ébredt feszültséggel: σ = Eε
• Young-modulusz: E (Pa), megmondja, hogy egységnyi hosszú és egységnyi keresztmetszetű anyag megnyújtásához mekkora erő kell.
• F(x) = EAx/l
Munka: W = ∫(0,Δl) F(x) dx = 1/2EA/l(Δl)^2 = 1/2EAl(Δl/l)^2 = 1/2EV(Δl/l)^2 = 1/2EVε^2 = 1/2Vσε
Energiasűrűség: w = W/V = 1/2Eε^2 = 1/2σ*ε
Harántösszehúzódás?
• Térfogatváltozás?
A test keresztmetszete nyújtáskor csökken, összenyomáskor nő, tehát a harántkeresztmetszetek változnak. Mérési kísérletek alapján:
Δd/d = –μ*Δl/l, ahol az arányossági tényező a POISSON-SZÁM. A negatív előjel azt fejezi ki, hogy nyújtáskor összehúzódás, összenyomáskor szélesedés történik.
• ΔV = (l+Δl)(A+ΔA) – Al = LΔA + AΔL
ΔV/V = ΔV/LA = ΔA/A + Δl/l = Δl/l + 2Δr/r = ε(1–2μ)
ΔV/V = (1–2μ)σ/E
