Endomorphismes remarquables EE

Question 1

Projection Orthogonale

Answer 1

Projection orthogonale sur F parallèlement à F|:

p(x) de F
x-p(x) de F|

||x||^2=||p(x)||^2+||x-p(x)||^2

Question 2

Expression du projeté orthogonal dans une BON

Answer 2

Soit (u1,u2…uk) une BON de F, pour tout vecteur x de E,

p(x)=Sum (i=1 à k) ui

Question 3

Matrice d’une projection orthogonale

Answer 3

Soit B une BON de E, (u1…uk) une BON de F et (U1…Uk) les vecteurs colonnes représentant les coordonnées de (u1…uk) dans B alors :

MatB(p)=Sum Ui tUi

Question 4

La matrice d’un projecteur orthogonal dans une BON de E est

Answer 4

Symétrique

Question 5

Un endomorphisme est symétrique ssi (Matrice)

Answer 5

Sa matrice dans une BON est symétrique

Question 6

Soit p un projecteur de E

p est un projecteur orthogonal ssi

Answer 6

C’est un endomorphisme symétrique

Question 7

Réduction des endomorphismes symétriques

Answer 7

Soit u un endomorphisme symétrique d’un espace euclidien E alors:

1) Toutes les valeurs propres de u sont réelles
2) Les vecteurs de u associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux
3) Les sous-Espaces propres de u sont 2 à 2 orthogonaux
4) u est diagonalisable dans une BON

Question 8

Réduction des matrices symétriques réelles

Answer 8

Soit A une matrice symétrique réelle

1) Toutes les valeurs propres de A sont réelles
2) Les vecteurs propres de A associées à des vp distinctes sont orthogonaux

3)A et diagonalisable : D=P^(-1)AP
D=tPAP

4)Soit ¥1,…,¥n les valeurs propres de A et U1…Un une BON de vecteurs propres de A alors:

A=Sum ¥i Ui tUi

Question 9

Forme quadratique et encadrement

Answer 9

q(x1…xn)=tXAX

-Soit a et b la plus petite et la plus grande des valeurs propres de A alors:

Pour tout x de R^n: a ||x||^2

Question 10

Signe d’une forme quadratique

Answer 10

-Si toutes les valeurs propres sont + alors q(x) +