VAR Discrètes Flashcards
Opérations sur les VAR
Soit X et Y deux VAR sur (omg,A)
Alors X+Y, XY, !X, sup(X,Y) et inf(X,Y) sont des VAR
Fonction de répartition
Soit (omg,A,P) un espace probabilisé et X une VAR sur (omg,A)
La fonction de répartition de X est:
Fx: R->R
x->Fx(x)=P(X
Propriétés de La fonction de répartition
1) Pour tout x€R, Fx(x)€[0,1]
2) Fx est croissante
3)lim qd x->-oo Fx(x)=0
lim qd x->+oo Fx(x)=1
4)Fx est continue à droite en tout point de R i.e lim qd x->a+ Fx(x)=Fx(a)
5)pour tout (a,b)€R^2 tel que a<b>a)=1-Fx(a)
P(X<a></a></b>
Caractérisation des fonctions de répartition
Soit F:R->R une fonction vérifiant:
- F croissante
- lim 0 en -oo et 1 en +oo
- F continue à droite en tout point
Alors il existe une VAR X dont F est la fonction de répartition
Caractérisation fonctions de répartition (VAR à densité )
Soit F:R->R
- F croissante
- lim O et lim 1
- F continue sur R
- F est de classe C1 sauf éventuellement en un nombre fini de points
Alors il existe une VAR X à densité dont F est la fonction de répartition
VAR discrète si
-X(omg) est un ensemble fini ou X(omg) c N ou Z
-Pour tout k€X(omg), [X=k]€A
C’est un événement on peut calculer sa probabilité
La distribution de la loi d’une VAR X si:
L’ensemble des couples (xi,pi) i€I est la distribution de loi d’une VAR X si:
Pour tout i€I, pi_>0 et Sum(pi)=1
Espérance
Soit X une VAR de loi {(xi,pi)/i€I}
On dit que X admet une espérance si la série sum (xi€omg) pi xi est absolument convergente et on note alors:
E(X)=sum(xi€X(omg)) xi pi
Théorème de transfert
Soit X une VAR discrète et g: X(omg)-> R une fonction
Si la série Sum g(xi)pi converge absolument, alors g(X) admet une espérance et
E(g(X))=Sum g(xi)pi
Espérance conditionnelle
Soit X une VAR discrète définie sur un espace probabilisé (omg,A,P)
Pour tout événement A de Proba non nulle, on appelle espérance de X conditionnée par A, l’espérance de X pour la probabilité conditionnelle Pa:
E(X|A)=Sum xi Pa([X=xi])
Proposition sur espérance conditionnelle
Si E(X) existe, pour tout événement A de probabilité non nulle E(X|A) existe
Espérance totale
Soit X une Var discrète finie sur (omg,A,P), soit (An) un SCE et soit J l’ensemble des entiers n tels que P(An)#0
X admet une espérance ssi la série double:
Sum xi P an ([X=xi])P(An)
Converge absolument
Dans ce cas, pour tout n de J, l’espérance conditionnelle E(X|An) existe) et
E(X)=Sum P(An)E(X|An)
Existence d’une espérance par domination
Soit X et Y deux VAR discrètes:
1) définies sur un même espace probabilisé (omg,A,P)
2) telles que 0
Si X est une VAR telle que le support X(omg) soit borné alors
X admet une espérance
Soit X et Y admettant chacune une variance alors
Le produit XY admet une espérance
