Vecteurs Aléatoires Flashcards
Définition Loi conjointe
Ensemble des couples {((xi,yj),pi,j)/ (xi,yj)€X(omg) x Y(omg)
Et pi,j=P([X=xi,Y=yj])]
Caractérisation d’une loi conjointe
Une famille {pi,j/(i,j)€I x J} est la distribution de la loi conjointe d’une VAR discrète si:
- Pour toute (i,j), pi,j_>0
- Somme double de pi,j vaut 1
Définition de la loi marginale
C’est la loi de X mais dans le contexte d’un couple de VAR (Discrète)
pi,•=P([X=xi])
pi,•=Sum P([X=xi],[Y=yj])=Sum pi,j
Loi marginale de Y:
p•,j=P([Y=j])
Loi marginale et formule des probes totales
Soit (X,Y) un couple de VAR tel que Y soit une VAR discrète
Pour tout i€X(omg),
pi,•=P(X=i)=Sum P(Y=k) P sachant (Y=k) x (X=i)
Formule espérance totale dans le cadre d’un couple de VAR
Soit (X,Y) un couple de VAR, tel que Y soit une variable discrète, alors, si la série dessous converge absolument:
E(X)=Sum P(Y=k)E(X|[Y=k])
Avec P(Y=k) différent de 0
Pour déterminer la loi de Y
1) Loi conditionnelle de Y sachant [X=n]
2) Loi conjointe du couple (X,Y)
3) Loi marginale de Y
Indépendance de deux VAR
Deux variables discrètes sont indépendantes si
Pour tout i,j €X x Y
P([X=i],[Y=j])=P(X=i) x P(Y=j)
Deux variables X et Y sont indépendantes ssi
Tout événement A associé à X est indépendant de tout événement B associé à Y
Théorème de transfert pour les VAR discrètes
Soit X et Y deux VAR discrètes , g:R^2->R
Si la série double:
Sum (i,j) de g(i,j)P([X=i,Y=j])
Linéarité de l’espérance
Soit X et Y deux VAR admettant une espérance et (a,B) deux réels;
Pour tout couples de réels (a,B)
aX+BY admet une espérance et
E(aX+BY)=aE(X)+BE(Y)
Croissance de l’espérance
Soit X et Y deux VAR telles que X
Existance de l’espérance de XY
X et Y admettent un moment d’ordre 2
Définition Covariance
Soit X et Y deux VAR admettant un moment d’ordre 2, on appelle covariance de X et Y le réel:
cov(X,Y)=E((X-E(X))(Y-E(Y)))
Formule de Huygens pour Covariance
Le fait que X et Y aient des moments d’ordre 2 garantit l’existence de la covariance et
cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
