Equations différentielles d'ordre 1 à coef constant

Question 1

Définition :

On appelle équation différentielle linéaire d’ordre n toute équation de la forme …

Answer 1

y⁽ⁿ⁾(t) + a_{n - 1}(t)y^{(n - 1)}(t) + … + a₀y(t) = b(t)

où a_{n - 1}, …, a₀ et b sont donnés

Question 2

Quel type d’équation ?

y’(t) + t⁴y(t) = t

Answer 2

C’est une équation différentielle linéaire de 1er ordre

Question 3

Quel type d’équation ?

y’‘(t) + (sin²t)y’(t) - y(t) = 1

Answer 3

C’est une équation différentielle linéaire du 2ème ordre

Question 4

Définition

On appelle équation différentielle homogène associée à y⁽ⁿ⁾(t) + a_{n - 1}(t)y^{(n - 1)}(t) + … + a₀y(t) = b(t) l’équation …

Answer 4

y⁽ⁿ⁾(t) + a_{n - 1}(t)y^{(n - 1)}(t) + … + a₀y(t) = 0

Question 5

Théorème

L’ensemble des solutions de l’équation homogène y’(t) + ay(t) = 0, t ∈ I est …

Answer 5

{t → ce^-at, c ∈ ℝ}

Question 6

Une solution de y’(t) s’annule en un point ssi …

Answer 6

elle est identiquement nulle

Question 7

Théorème

Si y_p est une solution particulière de y’(t) + ay(t) = b(t), alors l’ensemble des solutions de l’équation est …

Answer 7

{t → ce^-at + y_p(t)}

Question 8

Résoudre

y’ - 3y = 2

Answer 8

{t → ce^3t - (2 / 3), c ∈ ℝ}

Question 9

En quoi consiste la méthode de la variation de la constante ?

Answer 9

• Chercher une solution particulière de la forme y_p(t) = c(t)e^-at
• Remplacer la S.P. dans l’équation
• On obtient c’(t) = b(t)e^at
• La solution est l’ensemble des primitives de b(t)e^at