Fonctions d'une variable réelle

Question 1

Pour une fonction réelle,

Définir D_f en compréhension

Answer 1

D_f = {x ∈ ℝ | f(x) existe}

Question 2

N / D existe ssi

Answer 2

N existe, D existe et D ≠ 0

Question 3

f est une fonction

f est périodique de période T si …

Answer 3

∀ x ∈ D_f, x + T ∈ D_f et f(x + T) = f(x)

Question 4

f est une fonction

f est paire si …

Answer 4

∀ x ∈ D_f, -x ∈ D_f et f(-x) = f(x)

Question 5

f est une fonction

f est impaire si …

Answer 5

∀ x ∈ D_f, -x ∈ D_f et f(-x) = -f(x)

Question 6

Donner la définition d’une dérivée en terme de limite

Answer 6

lim_h→0 ([f(a + h) - f(a)] / h)

f est dérivable ssi cette limite existe

Question 7

Dérivée de f + g

Answer 7

f’ + g’

Question 8

Dérivée de fg

Answer 8

f’g + g’f

Question 9

Dérivée de 1 / f

Answer 9

-f’ / f²

Question 10

Dérivée de f / g

Answer 10

(f’g - g’f) / g²

Question 11

Dérivée de fⁿ, n ∈ ℤ

Answer 11

nf^{n - 1}f’

Question 12

Dérivée de √f

Answer 12

f’ / 2√f
là où f > 0

Question 13

Dérivée de ln(f)

Answer 13

f’ / f

Question 14

Dérivée de e^f

Answer 14

f’e^f

Question 15

Dérivée de f ∘ g

Answer 15

(f ∘ g)’(x) = f’(g(x))g’(x)

Question 16

Dérivée de xⁿ , n ∈ ℕ

Answer 16

nx^{n - 1}

Question 17

Dérivée de cos

Answer 17

-sin

Question 18

Dérivée de sin

Answer 18

cos

Question 19

Dérivée de tan

(deux formules)

Answer 19

1 + tan² = 1 / cos²

Question 20

Dérivée de ln

Answer 20

1 / x

Question 21

Dérivée de exp

Answer 21

exp

Question 22

La tangente à C_f en (a , f(a)) admet pour équation :

Answer 22

y - f(a) = f’(a)(x - a)

Question 23

Donner le plan d’étude d’une fonction

(6 étapes)

Answer 23

1. Domaine de définition
2. Périodicité ou parité éventuelles de f
3. Domaine de dérivabilité
4. Calcul de la dérivée
5. Tableau de vatiation de f avec calcul des limites
6. Tracé de C_f

Question 24

1 / 0⁺ = …

Answer 24

+∞

Question 25

1 / 0^- = ...

Answer 25

-∞

Question 26

1 / +∞ = ...

Answer 26

0⁺

Question 27

1 / -∞ = ...

Answer 27

0^-

Question 28

La limite d'une fonction polynome en ±∞ est égale ...

Answer 28

à la limite en ±∞ de son terme de plus haut degré

Question 29

La limite d'une fonction rationnelle en ±∞ est égale ...

Answer 29

à la limite en ±∞ du quotient de ses termes de plus haut degré

Question 30

# Définition : f est une bijection d'un intervalle I sur un intervalle J si ...

Answer 30

I ⊂ D_f et ∀y∈J, ∃! x∈I : y = f(x)

Question 31

# Théorème : Une bijection de I sur J est ...

Answer 31

f **continue** et **strictement monotone** d'un intervalle I sur un intervalle J

Question 32

f est dérivable sur un intervalle I si ...

Answer 32

f est continue sur I

Question 33

# Définition d'une asymptote La droite d'équation y = ax + b est asymptote à *C*_f en +∞ (resp : en -∞) si ...

Answer 33

lim_x→+∞ (f(x) - (ax + b)) = 0 (resp : lim_x→-∞ (f(x) - (ax + b)) = 0)

Question 34

# Définition d'une asymptote La droite d'équation x = x₀ est asymptote à *C*_f si ...

Answer 34

lim_x→x0 f(x) = ±∞ ou si lim_x→x0⁺ f(x) = ±∞ ou si lim_x→x0^- f(x) = ±∞

Question 35

Comment rechercher une asymptote au voisinage de +∞

Answer 35

On cherche la limite a de f(x)/x en +∞, si a ∈ ℝ, on cherche la limite b de (f(x) - ax) en +∞, si b ∈ ℝ, alors y = ax + b est asymptote à *C*_f au voisinage de +∞

Question 36

D_ln = ...

Answer 36

]0, +∞[

Question 37

D_exp = ...

Answer 37

ℝ

Question 38

ln(e) = ...

Answer 38

1

Question 39

ln(1) = ...

Answer 39

0

Question 40

D_tan = ...

Answer 40

ℝ \ {± π/2 + 2kπ, k∈ℤ}

Question 41

Donner les ensembles de départ et d'arrivée de la fonction arcsin

Answer 41

arcsin : [-1, 1] → [-π/2, π/2]

Question 42

∀x∈ ]-1, 1[, arcsin'(x) = ...

Answer 42

1 / √(1 - x²)

Question 43

Quelle est la parité de la fonction arcsin ?

Answer 43

arcsin est impaire

Question 44

Que peut-on dire des courbes de arcsin et sin (restreinte à [-π/2, π/2])

Answer 44

Elles sont symétriques par rapport à la première bissectrice dans un repère orthonormé (y = x)

Question 45

Donner les ensembles de départ et d'arrivée de la fonction arccos

Answer 45

arccos : [-1, 1] → [0, π]

Question 46

∀x∈ ]-1, 1[, arccos'(x) = ...

Answer 46

-1/√(1 - x²)

Question 47

Que peut-on dire des courbes de arccos et cos (restreinte à [0, π])

Answer 47

Elles sont symétriques par rapport à la première bissectrice dans un repère orthonormé

Question 48

Donner les ensembles de départ et d'arrivée de arctan

Answer 48

arctan : ℝ → ]-π/2, π/2[

Question 49

∀x∈ℝ, arctan'(x) = ...

Answer 49

1 / (1 + x²)

Question 50

Que peut-on dire des courbes de arctan et tan (restreinte à ]-π/2, π/2[)

Answer 50

Elles sont symétriques par rapport à la première bissectrice dans un repère orthonormé

Question 51

Comment calculer la dérivée partielle de f par rapport à x ? | ∂_f / ∂_x

Answer 51

On calcule la dérivée en considérant y comme une constante

Question 52

Comment calculer la dérivée partielle de f par rapport à y ? | ∂_f / ∂_y

Answer 52

On calcule la dérivée en considérant x comme une constante