Les vecteurs

Question 1

Un vecteur est caractérisé par :

Answer 1

• Une direction
• Un sens
• Une longueur

Question 2

Quelle est la relation de Chasles ?

Answer 2

AB + BC = AC

Question 3

Deux vecteurs u et v sont colinéaires ssi

Answer 3

det(u, v) = 0

Question 4

Qu’est-ce qu’une base du plan ?

Answer 4

Un couple de vecteurs non colinéaires

Question 5

Pour tout vecteur w d’une base (u, v), il existe deux réels α et β tels que :

Answer 5

w = αu + βv

Question 6

Par quoi est défini un repère du plan ?

Answer 6

Par un point A appelé origine et une base du plan (u, v)

Question 7

Propriété : Pour tous points A, B, C,
AB + AC = …

Answer 7

2AI où I est le milieu de [B,C]

Question 8

Comment résoudre un système de la forme :
{ ax + by = c
{ a’x + b’y = c’

Answer 8

Calculer α = det[(a a’), (b b’)]
Si α ≠ 0, il y a une unique solution qui est :
x = det[(c c’), (b b’)] / α
y = det[(a a’), (c c’)] / α

Sinon, ou bien les deux équations sont proportionnelles et le système se réduit à une équation ou bien elles ne le sont pas et S = ∅

Question 9

Trois vecteurs u et v et w de ℝ³ sont coplanaires si :

Answer 9

u = 0 ou v = 0 ou w = 0 ou il existe (λ, μ) ∈ ℝ² tel que w = λu + μv

Question 10

Propriété : 4 points A, B, C et D de ℝ³ sont coplanaires ssi …

Answer 10

Les vecteurs AB, AC, et AD sont coplanaires

Question 11

La base canonique de ℝ² est …

Answer 11

(e₁, e₂) avec e₁(1 0) et e₂(0 1)

Question 12

Donner quatre propriétés sur le produit scalaire commençant par :
Pour tous vecteurs u, v, w de ℝ² et pour tout réel λ

Answer 12

• u ∙ v = v ∙ u
• u ∙ (λv) = λu ∙ v
• u ∙ (v + w) = u ∙ v + u ∙ w
• ║λu║ = |λ|║u║

Question 13

On appelle projeté orthogonal de v sur la droite de direction u ≠ 0 et on note P_u(v) …

Answer 13

L’unique vecteur de ℝ² colinéaire à u tel que v - P_u(v) soit orthogonal à u

Question 14

Projeté orthogonal : P_u(v) = …

Answer 14

P_u(v) = [(u ∙ v) / ║u║²] u

Question 15

Quelles sont les deux formules du produit scalaire ?

Answer 15

• u ∙ v = xx’ + yy’
• u ∙ v = ║u║║v║cos(u, v)

Question 16

Quelle est la norme du vecteur u ^ v ?

Answer 16

║u║║v║|sin(u, v)|

Question 17

Donner trois propriétés du produit vectoriel.
Pour tous vecteurs u, v, et w de ℝ³ et pour tout réel λ :

Answer 17

• u ^ v = -v ^ u
• u ^ (λv + w) = λu ^ v + u ^ w
• u ^ w = 0 ssi u et v sont colinéaires

Question 18

En pratique, comment calculer le produit vectoriel de u et v ?

Answer 18

• “On enlève la première ligne et on calcule le déterminant”
• “On enlève la deuxième ligne, on calcule le det et on met un moins”
• “On enlève la troisième ligne, on calcule le det”

Question 19

Propriété (produit vectoriel) : L’aire d’un triangle ABC est :

Answer 19

(1/2) ║AB ^ AC║

Question 20

Le projeté orthogonal P_u,v(w) de w ∈ ℝ³ sur le plan engendré par u et v supposés non colinéaires, est …

Answer 20

l’unique vecteur de ℝ³ combinaison linéaire de u et de v, tel que (w - P_u,v(w)) ∙ u = (w - P_u,v(w) ) ∙ v = 0