Equations différentielles linéaires du second ordre à coef constants

Question 1

Définition

Une équation différentielle linéaire du second ordre à coef constants est …

Answer 1

y’‘(t) + ay’(t) + by(t) = g(t) , t ∈ I

où I intervalle de ℝ, (a,b) ∈ ℝ² et g est une fonction donnée

Question 2

L’équation homogène de y’‘(t) + ay’(t) + by(t) = g(t) , t ∈ I est l’équation …

Answer 2

y’‘(t) + ay’(t) + by(t) = 0 , t ∈ I

Question 3

L’équation caractéristique de y’‘(t) + ay’(t) + by(t) = g(t) , t ∈ I est …

Answer 3

z² + az + b = 0

où z ∈ ℂ

Question 4

Résolution équa dif second degrès (1)

Si l’équation caractéristique admet 2 racines réelles distinctes r₁ et r₂, alors l’ensemble des solutions de l’équation homogène y’‘(t) + ay’(t) + by(t) = 0 , t ∈ I est …

Answer 4

{c₁e^r1t + c₂e^r2t, (c₁, c₂) ∈ ℝ²}

Question 5

Résolution équa dif second degrès (2)

Si l’équation caractéristique admet une racine double r₀, alors l’ensemble des solutions de l’équation homogène y’‘(t) + ay’(t) + by(t) = 0 , t ∈ I est …

Answer 5

{(c₁t + c₂)e^r0t, (c₁, c₂) ∈ ℝ²}

Question 6

Résolution équa dif second degrès (3)

Si l’équation caractéristique admet 2 racines complexes conjuguées s₁ ± is₂ où (s₁, s₂) ∈ ℝ², alors l’ensemble des solutions de l’équation homogène y’‘(t) + ay’(t) + by(t) = 0 , t ∈ I est …

Answer 6

{e^s1t(c₁cos(s₂t) + c₂sin(s₂t)), (c₁, c₂) ∈ ℝ²}

Question 7

Théorème

L’ensemble des solutions de y’’ + ay’ + by = g est …

Answer 7

{y_{(c1, c2)} + y_p, (c₁, c₂) ∈ ℝ²}

où y_{(c1, c2)} est solution de (H) et y_p est une solution particulière de (E)