INTEGRALI

Question 1

Definirajte nedoločeni integral funkcije.

Answer 1

• Nedoločeni integral funkcije f je funkcija oz. družina funkcij, definirana na istem definicijskem območju (Df), katere odvod je f(x).
• Gre za obraten postopek diferenciranja.
• Vsi nedoločeni integrali iste funkcije se razlikujejo samo za C (konstanto).

Question 2

Skicirajte krivočrtni lik, ki ga na intervalu [a, b] omejujejo graf pozitivne zvezne funkcije f, abscisna os in premici x = a in x = b. Kako izračunamo ploščino tega krivočrtnega lika?

Answer 2

S = b∫a f(x)dx = F(x)b|a = F(b) - F(a)

Question 3

Naj bo f : ℝ → ℝ liha zvezna funkcija in a pozitivno število. Koliko je a∫-a f(x)dx ?
Ponazorite s primerom.

Answer 3

a∫-a f(x)dx
Primer: 1∫-1x³dx = x⁴/4
Ko vstavimo meji, dobimo 0.

Question 4

Naj bo f : [a, b]→ ℝ zvezna funkcija. Pojasnite geometrijski pomen določenega integrala funkcije f na intervalu [a, b].

Answer 4

• Določeni integral nenegativne funkcije f je enak ploščini lika med grafom funkcije݂ in abscisno osjo na intervalu [a, b].
• Če je funkcija݂ f na intervalu [a, b] negativna, potem je določeni integral enak nasprotni vrednosti ploščine lika med grafom funkcije݂ f in abscisno osjo.

Question 5

Naj bo f : ℝ → ℝ zvezna funkcija in a, b ter c taka realna števila, da je a < b < c. Izrazite
vsoto b∫a f(x)dx + c∫b f(x)dx z enim določenim integralom.

Answer 5

c∫a f(x)dx

Question 6

Povejte zvezo med določenim in nedoločenim integralom (Newton-Leibnizeva formula).

Answer 6

• Če je funkcija݂ zvezna na intervalu [a, b] in je F poljuben nedoločeni integral za funkcijo݂ f, potem velja: b∫a f(x)dx = F(b) - F(a).
• Določeni integral izračunamo tako, da najprej izračunamo poljuben nedoločeni integral, nato v ta nedoločeni integral vstavimo zgornjo mejo (b) in spodnjo mejo (a) in oboje med sabo odštejemo.