kalkulacija Flashcards
(13 cards)
- Definisati normalnu podgrupu i navesti primer.
Za podgrupu H grupe G, kažemo da je normalna podgrupa (normalna u G) ako za svako a∈G važi:
aH=Ha
Pišemo: H⊴G
Primeri grupa normalnih podgrupa:
1. Neka je G grupa, Jedinična podgrupa I same grupa G su normalne podgrupe od G jer ∀a∈G
a{e} = {e}a i aG=Ga.
2. ⟨ ρ ⟩ u grupi D3
3. Simetrija (123) -> (231) u S3
4. Sve podgrupe grupe kvaterniona su normalne.
Takođe, iz definicije sledi da je svaka podgrupa abelove grupe normalna.
- Definisati količničku grupu.
Neka je G grupa i neka je H normalna podgrupa od G. Grupu koju čini skup svih levih koseta u odnosu na operaciju množenja levih koseta definisanu sa (aH)(bH) = (ab)H nazivamo količnička grupa grupe G po njenoj normalnoj podgrupi H i označavamo sa G|H.
- Definisati homomorfizam grupa i navesti primer.
Neka su (G,⋅) i (H,∗) grupe.
Funkcija f : G→H je homomorfizam ako za sve x, y ∈ G važi:
f(x⋅y) = f(x) ∗ f(y)
Primer:
Funkcija f : Z→Z definisana kao f(x)=3x je homomorfizam, jer:
f(x+y)=3(x+y)=3x+3y=f(x)+f(y)
- Definisati jezgro i sliku homomorfizma.
Neka je f:G→H homomorfizam grupa.
* Jezgro homomorfizma f definišemo kao:
ker(f):={g∈G∣f(g)=e}, gde je sa e (epsilon) označen neutral grupe H.
* Slika homomorfizma:
Im(f):={h∈H∣ ∃g∈G, f(g)=h}
- Dokazati da je homomorfizam grupa injektivan akko mu je jezgro trivijalno.
Parola snađi se
- Definisati izomorfizam grupa i navesti primer.
Ako je homomorfizam f:G→H bijekcija, kažemo da je f izomorfizam grupa G i H. Ako postoji izomorfizam između grupa G i H, kažemo da su one izomorfne i pišemo: G≅H.
Primer: Grupa Z4 je izomorfna grupi ({1,−1,i,−i}, ⋅).
- Koliko elemenata ima simetrična grupa Sn? Da li je Abelova?
Grupa Sn ima n! elemenata - odnosno ima onoliko elemenata koliko ima permutacija nad skupom elemenata grupe.
Ako je n>2 grupa Sn nije Abelova, u suprotnom, jeste.
- Formulisati Kejlijevu teoremu.
Svaka grupa G je izomorfna nekoj podgrupi simetrične grupe Sg.
Specijalno, svaka konačna grupa reda n izomorfna je nekoj podgrupi grupe Sn.
- Definisati opštu linearnu grupu GLn(R).
Skup svih invertibilnih matrica dimenzije nxn čiji su članovi realni brojevi naziva se opšta linearna grupa i označava se sa GLn(R). Operacija je množenje matrica, a neutral jedinišna matrica.
Specijalno, ako se ograničimo na matrice čija je dijagonala jednaka 1, takođe dobijamo grupu, koju nazivamo specijalna linearna grupa - SLn(R). Iz LAAG-a znamo da je matrica invertibilna ako joj je determinanta različita od nule.
- Definisati Ojlerovu grupu.
Skup Zn je monoid u odnosu na množenje po modulu n. Neutral je 1. Ako se ograničimo na brojeve iz Zn koji su uzajamno prosti sa n, ovaj monoid će postati grupa - Ojlerova grupa, Ф(n).
- Dokazati da skup svih bijekcija iz nekog skupa u samog sebe čini grupu u odnosu na operaciju kompozicije funkcija - kako nazivamo tu grupu?
Sn je grupa, dokazuje se da je neprazan skup X sa definisanom operacijom koja je bijekcija grupa - zatvorenost, asoc, neutral, inverz.
- Neka je G grupa i a element reda n. Dokazati da za svako l iz Z vazi da je a^=e akoo n|l.
Parola snađi se
