monoidi itd

Question 1

1. Definisati monoid i navesti 3 primera monoida koji nisu grupe.

Answer 1

Monoid je skup M zajedno sa binarnom operacijom * pri čemu važi:

Skup M je zatvoren za operaciju * (ako su a, b ∈ M, onda je i a * b ∈ M)

Operacija * je asocijativna

Postoji element e ∈ M takav da za svaki element a ∈ M važi:
a * e = a, e * a = a
Element e se naziva neutralni element.

Primeri monoida koji nisu grupe:

Skup svih funkcija f: N → N je monoid u odnosu na kompoziciju funkcija

Skup svih n × n matrica sa realnim brojevima je monoid u odnosu na množenje matrica

Skup Zₙ = {0,1,…,n−1} je monoid u odnosu na množenje po modulu n

Question 2

8. Definisati grupoid i navesti primer grupoida koji nije polugrupa.

Answer 2

Grupoid je skup S zajedno sa binarnom operacijom *, koja je definisana na tom skupu, tj. ∀a, b ∈ S, a * b ∈ S.
Primer: skup celih brojeva Z je grupoid u odnosu na operaciju oduzimanja.

Question 3

7. Definisati levu i desnu inverzibilnost elementa u monoidu. Dokazati da ako je element monoida inverzibilan sleva (zdesna), onda je on i regularan sleva (zdesna).

Answer 3

Neka je M monoid, a a ∈ M. Kažemo da je a inverzibilan sleva ako postoji x ∈ M takav da:
x * a = e
a je inverzibilan zdesna ako postoji x ∈ M takav da:
a * x = e
Ako je inverzibilan i sleva i zdesna, kažemo da je samo inverzibilan.

Dokaz da leva inverzibilnost ⇒ leva regularnost:
Neka su x, y, z ∈ M, neka važi x * a = e i neka je a * y = a * z
Množimo obe strane jednakosti sa x:
x * a * y = x * a * z
e * y = e * z
y = z

Question 4

6. Definisati levu i desnu regularnost elementa u polugrupi. Dokazati da ako su a i b u polugrupi regularni sleva (zdesna), onda je i njihov proizvod a * b regularan sleva (zdesna).

Answer 4

Element a u polugrupi S je regularan sleva ako postoji x ∈ S takav da:
a * x * a = a
Slično, regularan zdesna ako postoji x ∈ S takav da:
x * a * x = a

Neka su a i b regularni sleva. Dokazaćemo da je i a * b regularan sleva.
Neka su x, y ∈ S i neka važi:
(a * b) * x = (a * b) * y
a * (b * x) = a * (b * y)
b * x = b * y (jer je a regularan sleva)
x = y (jer je b regularan sleva)

Question 5

5. Definisati polugrupu i navesti 2 primera polugrupa koje nisu monoid.

Answer 5

Polugrupa je skup S zajedno sa binarnom operacijom * pri čemu važi:

S je zatvoren za * (ako su a, b ∈ S, onda je a * b ∈ S) je asocijativna: (a * b) * c = a * (b * c)

Primeri:
N = {1, 2, 3, …} u odnosu na sabiranje
2N = {2, 4, 6, …} u odnosu na množenje

Question 6

2. Dokazati da je neutral u monoidu jedinstven.

Answer 6

Pretpostavimo da su e i e’ neutralni elementi u M.
e * e’ = e’ (jer je e neutralan)
e * e’ = e (jer je e’ neutralan)
Dakle, e = e’

Question 7

3. Neka je M monoid i a ∈ M inverzibilan. Dokazati da postoji jedinstven inverz elementa a.

Answer 7

Pretpostavimo da su x i y inverzi za a.
a * x = e i x * a = e
a * y = e i y * a = e
x = x * e = x * (a * y) = (x * a) * y = e * y = y
Dakle, x = y

Question 8

4. Dokazati da ako su a i b inverzibilni u monoidu, onda je i a * b inverzibilan i važi
   (a * b)⁻¹ = b⁻¹ * a⁻¹

Answer 8

Važi
(a * b) * (b⁻¹ * a⁻¹) = a * (b * b⁻¹) * a⁻¹ = a * e * a⁻¹ = a * a⁻¹ = e
(b⁻¹ * a⁻¹) * (a * b) = b⁻¹ * (a⁻¹ * a) * b = b⁻¹ * e * b = b⁻¹ * b = e
Dakle, (b⁻¹ * a⁻¹) je inverz od (a * b).