Les fonctions du second degré

Question 1

Définition de la fonction carré

Answer 1

On appelle fonction carré la fonction définie sur ]-inf;+inf[ par f(x)=x^2

Question 2

Définition des fonctions du type f(x)=ax^2+bx+c

Answer 2

Soit a, b, c, trois nombres réels avec a!=0
On appelle fonction de second degré tout fonction définie sur ]-inf;+inf[ du type f(x)=ax^2+bx+c
Toute fonction du second degré définit par f(x)=ax^2+bx+c peut s’écrire f(x)=a(x-α)^2+β

Question 3

Représentation graphique des fonctions s du second degré : théorème admis

Answer 3

Théorème : dans un repère orthogonal une fonction du second degré est représenté par une parabole qui possède un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnés
La parabole est tournée vers le haut ou bien tournée vers le bas selon les propriétés de la fonction étudiée; elle admet un point le plus haut ou le plus bas appelé sommet de la parabole.
L’écriture sous forme canonique permet de connaître les coordonnés du sommet de la parabole et l’équation de son axe de symétrie : le sommet de la parabole a pour cordonnées (alpha; bêta); la parabole est symétrique par rapport à la droite d’équation x=alpha

Question 4

Démonstration de la stricte décroissance de la fonction carré sur ]-inf; 0]

Answer 4

Soit x1 et x2 deux réels distincts tel que x1 < x2.
On compare (x1)² et (x2)² en étudiant le signe de leur différence.
Pour tous réels x1 et x2, (x1)² - (x2)² = (x1 + x2)(x1 - x2)
or x1 < x2 donc (x1 - x2)<0

Pour x1 < x2 <= 0
§ (x1 + x2)<0 entant que somme de deux nombres <0
§ (x1 + x2) (x1 - x2)>0 : on a démontré que (x1)² - (x2)² >0 on en déduit (x1)² > (x2)²

Bilan: on avait x1 < x2, on a montré (x1)² > (x2)².
On a donc démontré que pour tous réels négatif, la fonction carré ne conserve pas l’ordre entre deux nombres et leurs images
La fonction carré est strictement décroissante sur ]-inf;0]

Question 5

Démonstration de la stricte croissance de la fonction carré sur [0; +inf[

Answer 5

Soit x1 et x2 deux réels distincts tel que x1 < x2.
On compare (x1)² et (x2)² en étudiant le signe de leur différence.
Pour tous réels x1 et x2, (x1)² - (x2)² = (x1 + x2)(x1 - x2)
or x1 < x2 donc (x1 - x2)<0

Pour 0 <= x1 < x2
§ (x1 + x2)>0 entant que somme de deux nombres >0
§ (x1 + x2) (x1 - x2)<0 : on a démontré que (x1)² - (x2)² <0 on en déduit (x1)² < (x2)²

Bilan: on avait 0 <= x1 < x2, on a montré (x1)² < (x2)².
On a donc démontré que pour tous réels positifs, la fonction carré conserve l’ordre entre deux nombres et leurs images
La fonction carré est strictement décroissante sur [0; +inf[