Modèle de Markowitz Flashcards
(25 cards)
Sur quels moments statistiques repose le modèle de Markowitz ?
Il repose uniquement sur l’espérance et la variance des rendements, car si la distribution suit une loi normale ou si l’utilité est quadratique, les autres moments (asymétrie, kurtosis) deviennent négligeables.
Que mesurent le 3e et le 4e moment d’une distribution de rendements
- Le troisième moment mesure l’asymétrie (si la distribution est équilibrée ou non).
- Le quatrième moment mesure la kurtosis (aplatissement de la courbe et fréquence des valeurs extrêmes).
Pourquoi le choix optimal d’un investisseur rationnel se situe à l’intersection entre la courbe d’indifférence et la frontière efficiente ?
Parce que la courbe d’indifférence représente les préférences de l’investisseur entre risque et rendement, tandis que la frontière efficiente représente les meilleures combinaisons rendement-risque disponibles sur le marché.
Comment la diversification réduit elle le risque d’un portefeuille ?
En combinant des actifs ayant une faible corrélation (ou une corrélation négative), ce qui permet de réduire la variance globale du portefeuille et d’éliminer le risque diversifiable.
Quelle est la formule de la variance d’un portefeuille composé de deux actifs A et B ?
σp2=wA2σA2+wB2σB2+2wAwBCov(RA,RB)
où 𝑤𝐴,𝑤𝐵 sont les pondérations des actifs et Cov(𝑅𝐴,𝑅B) est leur covariance.
Pourquoi ne peut-on pas éliminer le risque systématique ?
Parce qu’il est lié à des facteurs macroéconomiques affectant l’ensemble du marché et ne peut être réduit par la diversification. Seul le risque diversifiable (spécifique à un actif) peut être éliminé en diversifiant le portefeuille.
Quelle est la formule du modèle du marché
E(R)=α+βE(Rm)+ε
où :
α est la performance propre de l’actif indépendamment du marché,
β mesure la sensibilité de l’actif au marché,
ε est la part du rendement inexpliquée par le marché.
Comment interpréter le résidu (ε) dans le modèle du marché ?
Il représente la part du rendement qui ne peut pas être expliquée par le marché et correspond au risque diversifiable, qui peut être réduit par diversification.
Quelles sont les hypothèses de base de Markowitz ?
- Les investisseurs constituent leur portefeuille de façon à maximiser leur richesse finale
- Leur fonction d’utilité est une fonction de leur richesse
- Ils sont avers au risque
- Ils font leur choix en se basant uniquement sur les deux premiers moments de la distribution aléatoire de leur richesse: l’espérance et la variance
- La richesse finale est déterminée par la rentabilité de l’investissement, il est donc équivalent de se baser sur l’espérance et la variance
Qu’est-ce que le modèle de Markowitz cherche à faire ?
Maximiser la satisfaction (utilité) d’un investisseur
En se basant uniquement sur l’espérance (rendement moyen) et la variance (risque) des rendements
Pourquoi ne considérer que l’espérance et la variance peut poser problème ?
Parce qu’en général, les préférences d’un investisseur peuvent dépendre de toute la forme de la distribution des rendements (asymétrie, aplatissement, etc.)
Dans quels cas l’espérance et la variance suffisent pour représenter l’utilité espérée ?
SI
La fonction d’utilité est quadratique
OU
La distribution des rendements suit une loi normale
Pourquoi choisir la fonction quadratique ?
- Facile à utiliser mathématiquement (optimisation quadratique)
- Dépend uniquement de l’espérance et la variance
Pourquoi ne pas choisir plutôt une fonction logarithmique ?
Elle dépend de toute la distribution, donc incompatible avec le modèle moyenne-variance pur.
Et la loi normale des rendements alors ?
Si les rendements suivent une distribution normale, on peut justifier que les préférences d’un investisseur rationnel soient bien décrites par l’espérance et la variance uniquement, quelle que soit la fonction d’utilité concave.
Mais en réalité, les rendements ne sont pas toujours normaux (ils peuvent avoir des queues épaisses, asymétrie, etc.)
Comment s’écrit l’utilité espérée en fonction de l’espérance et de la variance pour une fonction d’utilité quadratique ?
u(w)= aw-bw^2
E(u(w))= aE(w) - b E(w^2)
On sait que:
E(w^2) = E(w)^2 + Var(w)
Donc
E(u(w))= a.E(w) - b.(E(w)^2 + Var(w))
Comment se calcule l’espérance du portefeuille dans le modèle de Markowitz ?
E(Rp)= ΣXi.E(Ri)
avec Xi: proportion de l’actif dans le portefeuille
Comment se calcule la variance du portefeuille dans le modèle de Markowitz ?
Var(Rp)=Σi=1Σj=1xi.xj. Cov(Ri,Rj)
Quel est le travail d’optimisation à faire ?
- Soit de maximiser le rendement pour un niveau de risque donné
- Soit de minimiser la variance pour une espérance donnée, sous contraintes:
E(Rp) et Σxi=1*
*: Toute la richesse est investit dans les actifs et il y a pas de short selling ou vente à découvert, c’est-à-dire tous les actifs nous appartiennent
quel sont les deux concepts introduits par Markowitz ?
- La frontière efficiente
- La diversification
C’est quoi le principe de la frontière efficiente ?
La frontière efficiente est une courbe qui regroupe l’ensemble des portefeuilles dits efficients. Des portefeuille qui ne peuvent pas être dominés. Autrement dites, des portefeuilles qui minimisent le risque ou maximisent le rendement sous contraintes.
Elle est commune à l’ensemble des investissement sur un marché donné
Quelle est la problématique de l’investisseur donc ?
- Puisque l’investisseur est rationnel, il ne peut pas choisir un portefeuille autre qu’un qui se situe sur la courbe
- Le choix d’un portefeuille sera l’intersection entre la frontière efficiente et la courbe d’indifférence la plus élevée possible dans l’objectif de maximiser l’utilité espérée
C’est quoi le principe de la diversification ?
Pour Markowitz la variance du portefeuille peut être minimum si on choisit de le diversifier. C’est-à-dire le portefeuille va se composer des actifs qui sont négativement corrélés ou bien leur corrélation positive est faible et tend vers 0.
Le raisonnement mathématique est dans le cahier de cours
Alors que devient la problématique pour la diversification?
C’est de minimiser la fonction
Var(Rp)= (xA)^2.(σRA)^2+ (1-xA).(σRB)^2+2xA.(1-xA) φRA,RB.σA.σB
avec la variable A
