rownania rozniczkowe

Question 1

warunek istnienia i jednoznacznosci rozwiazania

Answer 1

funkcja ciagla + warunek lipschitza

Question 2

warunek lipschitza

Answer 2

_

Question 3

rozwiazanie z wzorem Taylora

Answer 3

rozwijamy y w szereg taylora dla k+1
wstawiamy nasza szukana funkcje

wystarczy policzyc pochodne i wstawic do rozwiniecia w szereg

Question 4

metoda eulera

Answer 4

rozwijamy ale konczymy rozwieniecie na 1 wyrazie
zastepujemy lewa strone ilorazem

przyblizamy calke prostokatem

Question 5

zmodyfikowana metoda eulera

Answer 5

zastepujemy prostokat kwadraturą gaussa z jednym wezlem - podnosimy wysokosc prostokata do punktu lezacego w srodku przedzialu

Question 6

metoda trapezow - heuna

Answer 6

zamieniamy prostokat na trapez, wyznaczony przez srednia arytmettyczna

Question 7

metoda runde-kutty

Answer 7

funkcja jest srednia wazona przyblizen 1 pochodnej w pewnych punktach

Question 8

metoda ekstrapolacyjna

Answer 8

przyblizamy funkcje podcalkowa wielomianem

otrzymamy sume wazona funkcji w kolejnyuch punktach, wspolczyniki moga byc obliczane niezaleznie

Question 9

wzory Adama-Bashfortha

Answer 9

wzory dla wielomianow stopni 1-4

zeby obliczyc wartosc w jakims punkcie, potrzeba 4 innych punktow, ktore mozna wyliczyc z rundego-kutty

Question 10

metoda interpolacyjna

Answer 10

wielomian jest o 1 stopien wyzszy - xi+1, cyzli dokladnie w tym punkcie ktory aktualnie liczymy

otrzymujemy wzory niejawne - po obu stronach nierownosci znajduja sie wezly y+1

mniejszy blad,wieksza stabilnosc,

Question 11

wzory adamsa-moultona

Answer 11

wykorzystywane jako korektor