Theorie_2009 Flashcards
(20 cards)
Was ist die Finite-Elemente-Methode? Wo findet diese Methode Anwendung?
Näherungsverfahren zum Lösen von gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen (DGL).
- Strukturmechanik
- Fluid-Struktur-Interaktion
- Wärmeleitung
Was ist der Unterschied zwischen der Starken und der Schwachen Form des Gleichgewichts?
- Starke Form: DGL
- Schwache Form: Mit Testfunktion etha multipliziert, gewichtet und Integral über das Gebiet
- -> Ordnung der DGL herabgesetzt
Welche Kriterien muss die Testfunktion erfüllen?
- Bestimmung der wesentlichen homogenen Randbedingungen, die die Testfunktion zu erfüllen hat:
Soll an Stellen, an denen die Verschiebung u vorgegeben wird, verschwinden (Da Verschiebungsansatz die Verschiebungs-RB exakt erfüllt)
–> η = 0, wo u=0, sonst η beliebig
Wozu werden in der FEM Ansatzfunktionen verwendet?
Für die lineare Approximation der Verschiebung über die gesamte Elementlänge.
Für welche Größen werden in der FEM Ansätze gewählt? Geben Sie dazu auch die Formeln an.
Für die Verschiebungen u und die Testfunktionen η.
u_h = ∑ N_I * u_I η = ∑ N_I * η_I
Mit Integral von i=1 bis n+1.
Welche Kriterien müssen Ansatzfunktionen erfüllen?
Am Knoten N_I = 1
An allen anderen Knoten N_I = 0
Welche Ansatzfunktionen werden in der FEM in der Regel verwendet?
Lineare Ansatzfunktionen
Lineare Lagrangesche Interpolationspolynome
Erklären Sie das zugrundeliegende Prinzip des Isoparametrischen Konzeptes (inkl. Skizze und Formeln).
Definition der Ansatzfunktionen auf Referenzelement und anschließende Transformation auf reales Element.
N_I(ξ, η)=1/4(1+ξ_Iξ)(1+η_Iη)
x=∑N_I(ξ, η)x_I
mit Integral von i=1 bis n
Wie lauten die trilinearen Ansatzfunktionen für einen Würfel mit acht Knoten und den Kantenlängen 2 in den Referenzkoordinaten ξ, η, ζ (allgemeine Form)?
N_I(ξ, η, ζ) = 1/2(1+ξ_Iξ)1/2(1+η_Iη)1/2(1+ζ_I*ζ)
3*1/2=1/8 –> acht Knoten
Werden in der Allgemeinen Form für die jeweiligen I-Variablen Werte eingesetzt (1 oder -1) erhält man die Ansatzfunktion für den jeweiligen Knoten.
Warum werden Referenzelemente eingeführt? Welche Vorteile und welche Nachteile ergeben sich dadurch?
Vorteile:
- Einfachere Ansatzfunktionen
- Numerische Integration
- Standardisierte Ansätze
Nachteile:
- Transformation notwendig
Bei der Ableitung der im Referenzelement definierten Ansatzfunktionen bzgl. der physikalischen Koordinaten x,y in 2D mit Hilfe des isoparametrischen Konzepts wird ein Zusammenhang zwischen den differentiellen Größen benötigt. Wie lautet dieser für ∂N/∂ξ?
∂N/∂ξ = ∂N/∂x * ∂x/∂ξ + ∂N/∂y * ∂y/∂ξ
Um ein Problem mit der FEM lösen zu können, ist die Angabe von Randbedingungen zwingend erforderlich.
Welche Randbedingungsarten gibt es? Was ist dabei zu beachten?
Verschiebungsrandbedingungen (Fest- / Loslager)
Kraftrandbedingungen
Äußere Lasten
Was bewirken die Randbedingungen im zu lösenden Gleichungssystem?
Streichen von Zeilen und Spalten.
–> Reduziertes Gleichungssystem
Aus welchen drei Grundgleichungen ergibt sich die Differentialgleichung EAu’‘+n=0?
- Gleichgewicht: dN/dx=-n
- Kinematik: ε=du/dx
- Materialgleichungen: N=EAε
(aus σ=Eε und σ=N/A)
Aus welchen Teilen besteht die Schwache Form des Gleichgewichts?
- Volumenkräfte
- Innerer Anteil
- Oberflächenkräfte
Welche mathematischen Prinzipien finden Anwendung, um von den Grundgleichungen auf die Schwache Form des Gleichgewichts zu kommen?
Partielle Integration / Gauß’scher Integralsatz
Wieviele Integrationspunkte sind in der Regel erforderlich (Faustformel)? Was bewirkt eine Unterintegration?
Gaußpunkte in einer Richtung entsprechen der Anzahl der Knoten in dieser Richtung.
m=2n-1
Unterintegration: weniger Gaußpunkte werden genutzt als erforderlich. Effizientere Integrations, Kompensation notwendig
–> Hourglassing
Wodurch kann die Genauigkeit einer FEM-Berechnung verbessert werden?
- Netzverfeinerung
- höhere Ansätze
- mehr Gauß-Punkte
Wodurch kann die Genauigkeit einer FEM-Berechnung kontrolliert bzw. abgeschätzt werden?
- Fehlerabschätzung = Vergleich mit analytischer Lösung
Bei Finiten Elementen greifen Kräfte an den Knoten an. Wie werden Strecken- oder Flächenlasten berücksichtigt?
Umwandlung in Einzellasten.
