Theorie_August_2010 Flashcards
(19 cards)
Aus welchen drei Grundgleichungen ergibt sich die DGL EAu’‘+n=0 für den linearen Dehnstab?
- Kinematik: ε=du/dx
- Material: N=EAε
- Gleichgewicht: dn/dx+n=0
Um die gesuchte Verschiebungsfunktion u(x) zu approximieren, wählt man in der FEM einen Näherungsansatz u_h(x).
Geben Sie die zugehörige allgemeine Form des Näherungsansatzes als Gleichung an!
u_h(x)=∑N_i*u_i
Was erhält man durch Einsetzen des Näherungsansatzes u_h(x) in die starke Form?
Residuum der Starken Form (Restwert)
Wie ergibt sich daraus die schwache Form und warum heißt diese so?
- Multiplikation der Testfunktion, dann Integration über das gesamte Gebiet.
- Dadurch fällt im gewichteten Mittel das Residuum weg.
- Die Schwache Form trägt ihren Namen, da die Ordnung der DGL herabgesetzt wird
Welche Bedingungen müssen die Ansatzfunktionen N_I erfüllen damit der allgemeine Näherungsansatz eine Interpolation der Knotenwerte u_I darstellt?
Kronecker-δ-Eigenschaft:
Ni(xj)={1 für i=j, 0 für i≠j}
Partition of Unity:
∑Ni(x)=1 (Summe von i=1 bis ne)
In einem finiten Element benutzt man als Ansatz für die unbekannte Größe u einen Ausdruck mit den Formfunktionen Ni und den unbekannten Knotengrößen ui. Wie wählt man üblicherweise den Ansatz für die zugehörige Testfunktion η (Bubno-Galerkin-Formulierung)?
Man wählt den gleichen Ansatz wie für u.
Was gilt für die Knotenwerte ηi der Testfunktion an freien und gesperrten Freiheitsgraden?
- η ist beliebig an freien Freiheitsgraden
- η ist 0 an gesperrten Freiheitsgraden
Wie trägt die Testfunktion dazu bei aus der skalaren Gleichung der schwachen Form ein lineares Gleichungssystem zu bilden?
η ist beliebig wählbar und an jedem Knoten einmal 1 zu setzen.
Warum entspricht die Anzahl der Gleichungen der Anzahl der Unbekannten?
Es gibt gleich viele Testfunktionswerte wie Unbekannte, weil jeder Punkt betrachtet wird.
Wieso leitet man die Ansatzfunktionen des bilinearen Vierecks nicht in den Realkoordinaten (x,y) her?
Referenzgeometrie ist stets dieselbe mit Kantenlänge 2 und Eckkoordinaten +-1.
Dadurch können Ansatzfunktionen standardisiert werden.
Was ist die Idee des isoparametrischen Konzept und warum heißt es so? Erläutern Sie mit Hilfer einer Skizze und geben Sie die Formeln für alle gewählten Ansätze am Beispiel des bilinearen 4-Knoten-Elements für die lineare Elastizität an!
Ansätze für Verschiebung, Testfunktion und Geometrie werden gleich gewählt.
uh=∑Ni(ξ,η)*ui [Summe über Knoten]
ηh=∑Ni(ξ,η)*ηi [Summe über Knoten]
xh=∑Ni(ξ,η)*xi [Summe über Knoten]
Was ist die Idee des isoparametrischen Konzept und warum heißt es so? Erläutern Sie mit Hilfer einer Skizze und geben Sie die Formeln für alle gewählten Ansätze am Beispiel des bilinearen 4-Knoten-Elements für die lineare Elastizität an!
Ansätze für Verschiebung, Testfunktion und Geometrie werden gleich gewählt.
uh=∑Ni(ξ,η)*ui [Summe über Knoten]
ηh=∑Ni(ξ,η)*ηi [Summe über Knoten]
xh=∑Ni(ξ,η)*xi [Summe über Knoten]
In der Übung wurden das lineare Dreieckselement und das bilineare Viereckselement zunächst einem sogenannten Patch-Test unterzogen. Skizzieren Sie für eins der beiden Elemente das System und die Randbedingungen eines Patch-Tests! Was genau wird mit dem Patch-Test überprüft?
Geprüft werden mechanisch begründete Anforderungen an ein Finite-Elemente-Verfahren:
- Stetigkeit des Verschiebungsansatzes
- Darstellbarkeit von Starrkörpermoden
- Darstellbarkeit konstanter Verzerrungszustände
Für den Test wird eine rechteckige Scheibe mit unregelmäßigen verzerrten Elementen diskretisiert und so belastet, dass die exakten Spannungen konstant sind.
- Überprüft Vollständigkeit 1. Ordnung und Elementfunktionsfähigkeit.
- Wichtiges Kriterium für Konvergenz
- Prüft, ob man linearen Verzerrungszustand abbilden kann
Welches Verfahren benutzt man üblicherweise in der FEM zur Auswertung der Integralterme? Geben Sie die allgemeine Form der Näherung für das Integral der beliebigen Funktion f(x) über das Gebiet 0
Gauß-Quadratur
Q=∑f(xi)*wi
[Summe über alle Gaußpunkte]
Welche Bedingung gilt für die Wichtungsfaktoren? (Gleichung angeben)
Summe der Wichtungsfaktoren = Länge der Kanten
Wie erweitert sich das Gleichungssystem K*u=F aus der linearen Statik in der Dynamik, wenn man die Trägheit berücksichtigt, aber die Dämfung vernachlässigt? Geben Sie das dynamische Gleichungssystem an!
Mu’‘+Ku=F
Mit Dämpfung:
Mu’‘+Du’+K*u=F
Wie lautet die Approximation der Geschwindigkeit du/dt zum Zeitpunkt t unter der Verwendung des vorderen Differenzenquotienten?
…
Wie lässt sich das dynamische Gleichungssystem mit Hilfe von Differenzenquotienten in ein algebraisches Gleichungssystem umformen? Beschreiben Sie mit Worten und/oder Gleichungen.
Aus der DGL wird ein algebraisches Gleichungssystem gemacht.
Zur Zeitintegration werden explizite und implizite Verfahren verwendet. Welche Vor- und Nachteile besitzen diese?
- explizit: geringer Rechenaufwand, bedingt stabil
- implizit: hoher Rechenaufwand, bedingungslos stabil
