Theorie_März_2010 Flashcards
(24 cards)
Geben Sie die drei Grundgleichungen für den linearen Dehnstab unter Streckenlast n(x) und die resultierende starke Form des Gleichgewichts an.
Kinematik: Epsilon=du/dx
Gleichgewicht: dN/dx=-n
Materialmodell: N=EA Epsilon
–> starke Form des GGW: d/dx(EA*du/dx)+n(x)=0
Ersetzt man in der starken Form die unbekannte Verschiebung u(x) durch den Näherungsansatz uh(x) erhält man das Residuum der starken Form. Was wird durch das Residuum ausgedrückt?
Der Fehler bzw. die Restmenge.
Was ist die Grundidee bei der Herleitung der schwachen Form und warum trägt sie ihren Namen?
- DGL wird mit Testfunktion eta multipliziert und über gesamtes Gebiet integriert
- Schwache Form, weil Stetigkeitsanforderungen an den Ansatzraum schwächer sind
- -> Ansatzordnung wird in der Regel halbiert
Wie lautet die schwache Form für den Dehnstab?
Integral von 0 bis l über [d/dx(EA*duh/dx)+n(x)]eta(x) dx =0
Zum Aufstellen von Näherungsansätzen werden n Stützstellen mit den Koordinaten xi und zugehörigen Ansatzfunktionen Ni(x) benutzt. Diese Stützstellen nennt man Knoten. Wie lautet die allgemeine Form des Näherungsansatzes uh(x) für die Unbekannte u(x)
Uh(x)= ∑ Ni(x) ui(x)
Welche Anforderungen müssen die Ansatzfunktionen erfüllen, damit uh(x) eine Interpolation der Knotenwerte darstellt (mit Gleichung)?
Ansatzfunktion besitzt um Knoten I den Wert “1” und an allen anderen Knoten den Wert “0”.
Ni(xk)=Delta ik (Kronecker-Delta)
Warum erleichtert die Einführung von Elementen die Definition von Ansatzfunktionen, welche die obigen Anforderungen erfüllen?
Steifigkeitsmatrix und rechte Seite des gesamten Problems kann aus Elementbeiträgen zusammengesetzt werden (Assemblierung).
Wie wird die Stetigkeit von uh(x) über die Elementgrenzen hinweg gewährleistet?
- Der Verlauf von uh ist nur abhängig von u(x1), u(x2)
- uh ist linear in xi
In einem finiten Element benutzt man als Ansatz für die unbekannte Größe u einen Ausdruck mit den Formfunktionen Ni und den unbekannten Knotengrößen ui. Wie wählt man üblicherweise den Ansatz für die zugehörige Testfunktion eta (Galerkin-Formulierung)?
- Man verwendet den gleichen Ansatz
Was gilt für die Knotenwerte eta_i der Testfunktion an freien und gesperrten Freiheitsgraden?
- eta ist beliebig an freien FHG
- eta ist 0 an gesperrten FHG
Wie trägt die Testfunktion dazu bei aus der skalaren Gleichung der schwachen Form ein lineares Gleichungssystem zu bilden?
eta ist beliebig wählbar und an jedem Knoten einmal “1”
Was ist die Idee des isoparametrischen Konzepts und warum heißt es so? Erläutern Sie mit Hilfe einer Skizze und geben Sie die Formeln für alle gewählten Ansätze am Beispiel des bilinearen 4-Knoten_Elements für die lineare Elastizität an!
- Realgeometrie wird auf eine Referenzgeometrie mit Koordinaten xi und eta abgebildet
- In der Regel Quadrat mit Kantenlänge 2 und Eckkoordinaten +1/-1
- -> Die Referenzgeometrie ist immer dieselbe
N1=1/4(1-xi)(1-eta)
N2=1/4(1+xi)(1-eta)
N3=1/4(1+xi)(1+eta)
N4=1/4(1-xi)(1+eta)
Geben Sie die allgemeine Form einer Funktion an, die vollständig erster Ordnung in x und y ist!
a0+a1x+a2y
Welche Vollständigkeit besitzt ein biquadratisches isoparametrisches 9-Knoten-Element bezüglich der Referenzkoordinaten xi und eta? Wovon hängt die Ordnung seiner Vollständigkeit bezüglich der Realkoordinaten x und y ab und wie groß ist sie minimal und maximal?
- Vollständigkeit in (xi,eta) bis zur zweiten Ordnung
- abhängig von Realgeometrie (Geradlinig, Krummlinig)
- min. 1 Ordnung, max. 2. Ordnung
In der Übung wurden das lineare Dreieckselement und das bilineare Viereckselement zunächst einem Patch-Test unterzogen. Skizzieren Sie für eins der beiden Elemente das System und die Randbedingungen eines Patch-Test! Was genau wird mit dem Patch-Test überprüft?
Für den Patch-Test wird eine rechteckige Scheibe mit unregelmäßigen verzerrten Elementen diskretisiert und so belastet, dass die exakten Spannungen konstant sind.
–> Geprüft werden mechanisch begründete Annahmen an ein FEM-Verfahren
Warum benutzt man in der FEM die numerische Integration zur Auswertung der Terme für zum Beispiel die Elementsteifigkeitsmatrix?
- Zum numerischen Lösen der in der schwachen Form enthaltenen Integrale
- analytische Berechnung des Integrals nicht möglich / zu aufwendig
Welche Methoden wird üblicherweise zur numerischen Integration verwendet? Geben Sie die allgemeine Form der Näherung für das Integral der beliebigen Funktion f(x) über das Gebiet 0
- Gauß-Integration
∫f(x)dΩ = ∫g(xi)Je(xi)dΩ ≈ ∑ f(xip)Je(xip)*w
Welche Bedingung muss für das gewählte Integrationsverfahren erfüllt sein?
Ordnung (Anzahl Stützstellen sollte möglichst gering sein
–> m=2n-1
Es darf zu keinem Rangabfall bei Elementsteifigkeitsmatrix kommen
Wieviele Integrationspunkte verwendet man üblicherweise für ein 2D-4-Knoten-Element und wie viele für ein 2D-9-Knoten-Element?
4-Knoten: 4
9-Knoten: 9?
Wie viele Integrationspunkte benötigt man um ein quadratisches und ein kubisches Polynome exakt zu integrieren?
Bei beiden 2.
Für ein isoparametrisches bilineares Viereckselement: Werden die Terme in der schwachen Form durch eine 4-Punkt-Integration exakt integriert? Begründen Sie ihre Antwort und geben Sie eventuelle Ausnahmefälle an.
2 GP pro Richtung –> 2*2=4
Ja, exakte Integration
Ausnahmen?
Wie lautet die starke Form des GGW für den Bernoulli-Balken unter STreckenlast q(x)?
EIw,xxxx -q(x) = 0
Welches ist die höchste Ableitungsordnung in der schwachen Form des Bernoulli-Balkens?
- Ordnung
Welche besondere Anforderung muss der Näherungsansatz für die Durchbiegung w(x) des Balken anders als z.B. der Näherungsansatz für die Verschiebung im Dehnstab erfüllen? Was entspricht dieser Anforderung anschaulich?
- Für Balkenelement mit zwei Knoten müssen vier unbekannte Knotengrößen berechnet werden
- Stab muss nur C0-Stetigkeit erfüllen
–> Der niedrigst mögliche Polynomansatz besteht aus kubischen Polynom, das durch 4 Konstanten vollständig beschrieben wird
