Билет 37

Question 1

37 билет

Обратная ф-я

Определение

Answer 1

Ф-я f|M -> R называется обратной, если ∀ y ∈ f(M) = Д. Его полный прообраз f⁻¹(y) состоит из единственного элемента x ∈ M. В этом случае, ф-я, которая ставит в соотве. нашему y ∈ f(M) единственный x ∈ M такой, что f⁻¹(y) = x называется обратной по отношению к ф-ии f(x) и обозначается f⁻¹(y). При этом: f⁻¹|f(M) -> M => f(f’(y)) = y; f⁻¹(f(x)) = x

Question 2

37 билет

Теорема о диф-и обратной ф-ии

Формулировка теоремы

Answer 2

Пусть ф-я f|(a;b) -> Y д-ма на (a;b) и f’(x) > 0 в (a;b) (или f’(x) < 0 в (a;b)), т.е. f’ не меняет знака на (a;b). Y - мн-во значений ф-ии. Тогда обратная к f ф-я f⁻¹|Y -> (a;b) также д-а на Y. Её пр-я (f⁻¹)’(y) в каждой точке y ∈ Y: (f⁻¹)’(y) = 1/(f’(f⁻¹(y)))