Mécanique quantique Flashcards
Probabilité de détecter la particule à t dans le volume dτ
dP = |Ψ(r, t)|²dτ
où r est un vecteur et Ψ(r, t) la fonction d’ondes associée à la particule (à valeurs dans ℂ)
Densité de probabilité de présence
ρ(M, t) = |Ψ(r, t)|²
Onde de de Broglie
Ψ(x, t) = A * exp[i(kx - ωt)]
Relation de de Broglie
λ = h/p (= 2π/ k)
Énergie d’une particule libre
E = ħω = hν
avec ħ = h/2π = constante de Planck réduite
Relation de dispersion de la particule libre
k² = 2mω / ħ
Équation de Schrödinger pour une particule libre
-ħ² / 2m * ∂²Ψ/∂x² = iħ * ∂Ψ/∂t
Équation de Schrödinger dans le cas général (unidimensionnel)
Soit une particule soumise à une énergie potentielle Ep(x) = V(x)
-ħ² / 2m * ∂²Ψ/∂x² + V(x)Ψ(x, t) = iħ * ∂Ψ/∂t
Équation de Schrödinger dans le cas général (tridimensionnel)
Soit une particule soumise à une énergie potentielle V(M)
-ħ² / 2m * ΔΨ + V*Ψ = iħ * ∂Ψ/∂t
Δ étant l’opérateur Laplacien
Principe de superposition pour l’équation de Schrödinger
Si Ψ₁ et Ψ₂ sont deux solutions alors Ψ = Ψ₁ + Ψ₂ est solution
Dans ce cas |Ψ|² = Ψ₁Ψ₁* + Ψ₂Ψ₂* + Ψ₁Ψ₂* + Ψ₂Ψ₁*
Les deux termes finaux correspondent à des interférences
Solution à l’équation de Schrödinger indépendante du temps
Ψ(x, t) = ψ(x) * exp(-iEt/ħ)
=> stationnaire car p = |Ψ|²(= proba) est indépendante du temps
Décomposition en ondes de de Broglie
Ψ(x, t) = ∫A(ω)*exp[i(k(ω)x - ωt)] dω
Inégalité d’Heisenberg
Δx * Δp ≳ ħ (/2)
p représente la quantité de mouvement
Densité de courant de probabilité
J est le vecteur tel que div J + ∂ρ/∂t = 0
J donne la direction dans laquelle les particules ont le plus de probabilités d’être détectées
Si un seul type de particules alors : J = ρv
Équation de Schrödinger indépendante du temps (unidimensionnelle)
Soit une particule soumise à une énergie potentielle Ep(x) = V(x)
-ħ² / 2m * φ”(x) + (V(x) - E)*φ(x) = 0
