Application linéaire

Question 1

soit f une application linéaire de Kᴾ dans Kⁿ, alors

Answer 1

f(0Kᴾ)=0Kⁿ

Question 2

soit f une application linéaire de Kᴾ dans Kⁿ,
f est linéaire si et seulement si

Answer 2

∀(u,v)∈(Kᴾ)²,∀(𝜆,μ)∈K²,f(𝜆u+μv)=𝜆f(u)+μf(v)

Question 3

soit f une application linéaire de Kᴾ dans Kⁿ,
(generalistaion de combinaison linéaire )

Answer 3

f(∑(k=1￫q) 𝜆𝘬u𝘬) = ∑(k=1￫q)𝜆𝘬 f(u𝘬)

Question 4

soit f une application linéaire de Kᴾ dans Kⁿ,
g une application linéaire de Kⁿ dans K^𝐪,

Answer 4

g°f est une application linéaire de Kᴾ dans K^𝐪

Question 5

un endomorphisme de Kᴾ

Answer 5

est une application linéaire de Kᴾ dans Kⁿ

Question 6

un isomorphisme de Kᴾ dans Kⁿ,

Answer 6

une application linéaire bijective de Kᴾ dans Kⁿ,

Question 7

proposition bijection reciproque (application linéaire)

Answer 7

soit f une application linéaire de Kᴾ dans Kⁿ,
la bijection reciproque de f, f⁻¹, est une application linéaire de Kⁿ dans Kᴾ

Question 8

Ker(f)

Answer 8

l’ensemble des vecteurs dont l’image par f est nul
Ker(f) est un sev de Kᴾ

Question 9

Im(f)

Answer 9

sev de Kⁿ

Question 10

lien avec l’injectivité et la subjectivité (application linéaire )

Answer 10

f est injectives ssi Ker f = {0Kᴾ}
f est surjective ssi Imf = Kⁿ

Question 11

propriété image de la base canonique

Answer 11

si deux applications linéaires coïncident sur la base canonique, alors elles sont égales

Question 12

3 propriétés avec la famille 𝓕

Answer 12

1 la famille 𝓕 est libre ssi f𝓕 est injective
2 la famille 𝓕 est génératrice de Kⁿ ssi f𝓕 est surjective
3 la famille 𝓕 est une base de Kⁿ ssi f𝓕 est bijective

Question 13

rang d’une application linéaire avec base canonique

Answer 13

soit (ε1,…,εp) la base canonique de Kᴾ:
rg(f)=rg(f(ε1),…,f(εp))

Question 14

3 propriétés avec le rang d’une application linéaire

Answer 14

1. f est injective ⇔ rg(f) = p
2. f est surjective ⇔ rg(f) = n
3. f est bijective ⇔ rg(f) = n = p

Question 15

bijection injection etc… avec rg d’une application lineaire

Answer 15

soit f une application linéaire de Kⁿ dans Kⁿ,
f est injective ⇔ f est surjective ⇔ f est bijective

Question 16

théorème du rang

Answer 16

soit f une application linéaire de Kᴾ dans Kⁿ, on a :
dim(Ker(f)) + rg(f) = p
la dimension du noyau de f plus le rang de f est égal a la dimension de l’espace de départ de f

Question 17

MatB,C( 𝜆u + μv) =

Answer 17

𝜆 MatB,C (u) + μ MatB,C (v)

Question 18

MatB,D ( v o u ) =

Answer 18

Mat C,D (v) * MatB,C (u)