Derivation Flashcards
(14 cards)
derivabilité a gauche et a droite
Soit f: I → R une fonction et xo ∈ I qui n’est pas une borne de I.
f est dérivable en xo si et seulement si f est dérivable à droite et à gauche en xo
et f’ⅆ(xo)=f’𝑔(xo)
Dérivabilité et continuité
Soit f: I → R une fonction et xo ∈ I
Si f est dérivable en xo, alors f est continue en xo
2.1 Dérivée d’une combinaison linéaire
Soit f : I → R et g : I → R deux fonctions, xo ∈ I et (𝜆, μ) ∈ R²
Si f et g sont dérivables en xo, alors 𝜆f + μg est dérivable en xo et (𝜆f + μg)’(x0) = 𝜆f’(xo) + μg’(xo).
Si f et g sont dérivables sur I, alors 𝜆f + μg est dérivable sur I et (𝜆f + μg)’ = 𝜆f’ + μg’.
2.2 Dérivée d’un produit
Soit f: I → R et g : I → R deux fonctions et xo ∈ I.
Si f et g sont dérivables en xo, alors fg est dérivable en xo, et (fg)’ (x0) = f’ (x0)g(x0) + f(x0)g’(x0).
Si f et g sont dérivables sur I, alors fg est dérivable sur I et (fg)’ = f’g + fg’
Dérivée d’un quotient
Soit f: I → R et g : I → R deux fonctions et xo ∈ I.
On suppose que g ne s’annule pas en xo (respectivement sur I).
- Si g est dérivable en xo, alors 1/g est dérivable en xo et on a (1/g)’(x0)= -g’(x0)/(g(x0))²
- Si g est dérivable sur I, alors 1/g est dérivable sur I et on a (1/g)’=-g’/g²
- Si f et g sont dérivables en xo , alors f/g est dérivable en xo et
(f/g)’ (xo)=f’(x0) g(x0) - f(x0)g’ (x0)/(g(x0))² - Si f et g sont dérivables sur I, alors f/g
est dérivable sur I et (f/g)’ = f’g-fg’/g²
Composition
Soit f: I → R et g: J → R deux fonctions telles que f(I) ⊂ J et xo ∈ I.
*Si f est dérivable en xo et si g est dérivable en f(xo), alors g o f est dérivable en xo et on a
(go f)’ (xo) = f’ (xo) * g’ (f(xo))
*Si f est dérivable sur I et si g est dérivable sur J, alors g o f est dérivable sur I et on a
(gof)’ = f’x g’o f
Dérivée d’une fonction réciproque
I et un intervalle de R Soit f: I → R une fonction continue et strictement monotone sur I. f réalise une bijection de I sur l’intervalle J = f(I). On considère sa bijection réciproque f ⁻¹ : J → I.
Soit xo ∈ I.
Si f est dérivable en xo et si f’ (xo) ≄ 0, alors f ⁻¹ est dérivable en yo = f(xo) et on a
(f ⁻¹)’ (y0) = 1/f’(x0) = 1/ f’(f ⁻¹ (y0))
Si f est dérivable sur I et si f’ ne s’annule pas sur I, alors f ⁻¹ est dérivable sur J, et on a
(f ⁻¹)’ = 1/ f’ o f ⁻¹
3.1 Extremum d’une fonction dérivable
Soit f: I → R une fonction et xo ∈ I tel que xo n’est pas une extrémité de I.
Si f possède un extremum local en xo et si f est dérivable en xo, alors f’(xo) = 0.
Théorème de Rolle
Soit f: [a, b] → R une fonction.
Si:
-f est continue sur [a, b]
-f est dérivable sur ]a, b[, alors il existe c ∈]a, b[ tel que f’(c) = 0.
-f(a) = f(b)
Formule des accroissements finis
Soit f: [a, b] → R une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[.
Il existe c ∈ ]a, b[ tel que f’(c) = f(b) - f(a)/b-a
monotonie de la fonction selon sa dérivé
Soit f: I → R une fonction dérivable sur l’intervalle I.
Si f’ est de signe constant sur I et ne s’annule qu’en un nombre fini de points, alors f est strictement monotone sur I.
extremum local selon dérivée
Soit f: I → R une fonction dérivable sur l’intervalle I et xo un point de I qui n’est pas une extrémité de I.
Si f’ s’annule et change de signe en xo, alors la fonction f possède un extremum local en xo.
Opérations sur les fonctions de classe Cⁿ
Soit f: I → R et g: I → R deux fonctions, n ∈ N, 𝜆, μ ∈R,
Si f et g sont de classe Cⁿ sur I, alors:
* 𝜆f + μg est de classe Cⁿ sur I et on a (𝜆f + μg) ^(n) = 𝜆f^(n) + μg ^(n).
* fg est de classe Cⁿ sur I,
* si g ne s’annule pas sur I, alors f/g est de classe Cⁿ sur I.
avec cⁿ et composition
Soit f: I → R et g: J → R deux fonctions telles que f(I) C J et n ∈ N.
Si f est de classe cⁿ sur I et si g est de classe Cⁿ sur J, alors g o f est de classe Cⁿ sur I.
