Convergence, théorèmes limites et estimation

Question 1

Qu’est-ce que la convergence en loi ?

Answer 1

Xₙ converge en loi vers X si les fonctions de répartition de Xₙ convergent vers celle de X en tout point de continuité.

Question 2

Qu’est-ce que la convergence en probabilité ?

Answer 2

Xₙ converge en probabilité vers X si pour tout ε > 0, P(|Xₙ - X| > ε) → 0 quand n → ∞.

Question 3

Qu’est-ce que la convergence presque sûre ?

Answer 3

Xₙ converge presque sûrement vers X si P(lim Xₙ = X) = 1.

Question 4

Quelle est l’implication entre les types de convergence ?

Answer 4

Convergence presque sûre ⇒ convergence en probabilité ⇒ convergence en loi.

Question 5

Qu’est-ce que la loi faible des grands nombres ?

Answer 5

La moyenne empirique converge en probabilité vers l’espérance : X̄ₙ → E[X].

Question 6

Qu’est-ce que la loi forte des grands nombres ?

Answer 6

La moyenne empirique converge presque sûrement vers l’espérance : X̄ₙ → E[X] a.s.

Question 7

Qu’est-ce que le théorème central limite ?

Answer 7

La moyenne centrée et réduite d’un échantillon i.i.d. de moyenne μ et variance σ² converge en loi vers N(0,1).

Question 8

Inégalité de Markov

Answer 8

P(X ≥ a) ≤ E[X]/a
pour toute variable aléatoire X ≥ 0 et tout a > 0.

Question 9

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Answer 9

P(|X - E[X]| ≥ ε) ≤ Var(X)/ε²
pour toute variable à variance finie.

Question 10

Qu’est-ce qu’une estimation ponctuelle ?

Answer 10

C’est une valeur unique calculée à partir d’un échantillon pour estimer un paramètre inconnu.

Question 11

Qu’est-ce qu’un intervalle de confiance ?

Answer 11

C’est un intervalle construit à partir d’un échantillon qui contient le paramètre inconnu avec une certaine probabilité.