Vecteurs aléatoires Flashcards
(15 cards)
Qu’est-ce qu’un vecteur aléatoire ?
C’est un n-uplet de variables aléatoires réelles définies sur un même espace probabilisé.
Qu’est-ce que la loi conjointe de deux variables aléatoires ?
C’est la fonction qui donne la probabilité ou densité commune de (X, Y).
Loi marginale du couple
(𝑋, 𝑌) de v.a.r. discrètes
∀ 𝑥 ∈ ℝ_𝑋: ℙ_𝑋(𝑥) = Σ_(𝑦𝑗∈ ℝ_𝑌) ℙ_𝑋𝑌(𝑥𝑖, 𝑦𝑗)
∀ y ∈ ℝ_Y: ℙ_Y(y) = Σ_(𝑥𝑖∈ ℝ_𝑋) ℙ_𝑋𝑌(𝑥𝑖, 𝑦𝑗)
Fonctions de répartition marginales de X et de Y
∀ 𝑥 ∈ ℝ_𝑋: 𝐹_𝑋(𝑥) = 𝐹_𝑋𝑌(𝑥,∞) = lim 𝑦→ ∞ 𝐹_𝑋𝑌(𝑥, 𝑦)
∀ 𝑦 ∈ ℝ_𝑌: 𝐹_𝑌(y) = 𝐹_𝑋𝑌(𝑥,∞) = lim 𝑥→ ∞ 𝐹_𝑋𝑌(𝑥, 𝑦)
Fonction de masse conditionnelle
de 𝑋 sachant 𝑌 = 𝑦𝑗,
ℙ_𝑋|𝑌 (𝑥𝑖, 𝑦𝑗) = ℙ (𝑋 = 𝑥𝑖 | 𝑌 = 𝑦𝑗)
Fonction de répartition conditionnelle
de 𝑋 sachant 𝑌 = 𝑦𝑗,
𝐹_𝑋|𝑌=𝑦𝑗 (𝑥) = ℙ(𝑋 ≤ 𝑥|𝑌 = 𝑦𝑗)
fonction de répartition conditionnelle
Fonction de répartition du couple de
v.a.r. (𝑋, 𝑌)
𝐹_𝑋𝑌(𝑥, 𝑦) = ℙ(𝑋 ≤ 𝑥, 𝑌 ≤ 𝑦)
Espérance d’un vecteur aléatoire
C’est le vecteur des espérances de ses composantes : E[X] = (E[X₁], …, E[Xn]).
Matrice de covariance
C’est la matrice dont les entrées sont Cov(Xi, Xj), qui mesure la dépendance linéaire entre les composantes.
Formule de la covariance entre deux variables X et Y
Cov(X, Y) = E[(X - E[X]) (Y - E[Y])] = E[XY] - E[X]E[Y]
Formule du coefficient de corrélation linéaire
ρ(X, Y) = Cov(X, Y) / (σ_X σ_Y)
Propriétés du coefficient de corrélation linéaire ?
ρ ∈ [-1, 1], ρ = 0 si X et Y sont non corrélés,
ρ = ±1 si relation linéaire parfaite
Quand deux variables aléatoires sont-elles indépendantes ?
Si leur loi conjointe est le produit de leurs lois marginales.
Quelle relation existe entre indépendance et covariance ?
Si X et Y sont indépendants, alors Cov(X, Y) = 0 ; mais la réciproque est fausse.
