Desigualdades

Question 1

Desigualdade de Markov

Answer 1

Sendo α>0,
P(|X|>=α) <= (1 / α^k) * E(|X|^k)

Question 2

Desigualdade de Markov (geral)

Answer 2

Sendo g(x)>=0 e α>0,
P(g(X)>=α) <= E(g(X)) / α

Question 3

Desigualdade de Chebyshev

Answer 3

Sendo k>0,
P(|X-μ|>=kσ) <= 1/(k^2)
<-> P(|X-μ|<kσ) >= 1 - 1/(k^2)

Question 4

Desigualdade de Chebyshev (k=2)

Answer 4

P(μ-2σ < X < μ+2σ) >= 3/4

Question 5

Desigualdade de Cauchy-Schwartz

Answer 5

Se E(X^2)<oo e E(Y^2)<oo, então:
|E(XY)| <= √E(X^2) * √E(Y^2)
= sse P(X=cY)=1 para uma c constante

Question 6

Desigualdade de Jensen

Answer 6

X va real com valores num intervalo aberto I,
h: I -> R convexa
h(E(X)) <= E(h(X))

Question 7

Desigualdade de Jensen (exemplos)

Answer 7

e^E(X) <= E(e^(X))
|E(X)|^p <= E(|X|^p)