Lei fraca dos grandes números

Question 1

WLLN

Answer 1

Weak Law of Large Numbers
Lei fraca dos grande números (LfGN)

Question 2

(Xn)n converge em probabilidade para X

Answer 2

Xn -p-> X
∀ ε>0,
lim(n->oo) P{|Xn-X|>ε} = 0
<-> lim(n->oo) P{|Xn-X|<=ε} = 1

Question 3

prova de convergência pontual

Answer 3

c constante, se:
- E(Xn) = c (ou lim(n->oo) E(Xn) = c)
- lim(n->oo) V(Xn) = 0
então Xn -p-> c

Question 4

Se X1, …, Xn têm a variância finita e a mesma média μ, então…

Answer 4

E(X1+…+Xn) = nμ
se ind. V(X1+…+Xn) = V(X1) + … + V(Xn)

Question 5

LfGN (definição)

Answer 5

(Xn)n uma sucessão de v.a. independentes
E(Xn) = μ e V(Xn)<=M
(n=1,2,… ; M>0 constante finita)
-> 1/n ∑(i=1 n) Xi -p->μ

Question 6

i.i.d.

Answer 6

independentes e identicamente distribuídas

Question 7

LfGN: caso iid (definição)

Answer 7

(Xn)n uma sucessão de v.a. i.i.d.
E(X1) = μ e V(Xn)<=M
(n=1,2,… ; M>0 constante finita)
-> 1/n ∑(i=1 n) Xi -p->μ

Question 8

(Xn)n converge em distribuição para X

Answer 8

Xn -D-> X
Fn: fd de Xn
F: fd de X
∀ x onde F é contínua
lim(n->oo) Fn(x) = F(x)
(X1,…,Xn podem estar definidos em espaços de probabilidade distintos)

Question 9

fgm

Answer 9

função geradora de momentos

Question 10

fgm (discreta)

Answer 10

MX(t) = E(e^tX) = ∑(x) e^tx fX(x)

Question 11

fgm (contínua)

Answer 11

MX(t) = E(e^tX) = ∫(-oo, oo) e^tx fX(x) dx

Question 12

a, b constantes
fgm de aX+b

Answer 12

MaX+b(t) = e^bt MX(at)

Question 13

fgm (Y ~ Poisson)

Answer 13

MY(t) = e^(λ(e^(t)-1))

Question 14

fgm (Y ~ Binomial)

Answer 14

MY(t) = (pe^(t)+1-p)^n

Question 15

fgm existe (propriedades)

Answer 15

-> todos os momentos de todas as ordens de X estão definidos (<-x-)
-> MX é derivável e MX(t) = ∑E(X^n) t^n / n!

Question 16

E(X^k) e fgm

Answer 16

MX(0)^(k) = d^k/dt^k MX(t) |t=0 = E(X^k)

Question 17

fgm (Y ~ Normal)

Answer 17

MX(t) = e^(µt+(1/2)(σ^2)(t^2))

Question 18

fgm <-> id

Answer 18

X->MX e Y->MY num intervalo J=(a,b)
MX(t) = MY(t) ∀t∈J sse X e Y identicamente distribuídas

Question 19

W = X + Y e X,Y ind

Answer 19

MW(t) = MX(t) * MY(t)

Question 20

W = X + Y e X,Y iid

Answer 20

MW(t) = M(t)^2
M(t): fgm comum a X e Y

Question 21

fmg e convergência em distribuição

Answer 21

X1,..,Xn v.a. com MXn(t)
X com MX(t)
lim (n->oo) MXn (t) = MX(t) ∀t numa vizinhança de 0 -> Xn-D->X