Lecture 10

Question 1

Warum kann QuickSort quadratische Laufzeit haben?

Answer 1

Wenn das Pivot in jeder Rekursion immer das kleinste / größte Element ist ⇒ extrem unbalancierte Teilprobleme.

Question 2

Drei in der Vorlesung genannte Strategien, um diesen Worst Case zu vermeiden?

Answer 2

1) Zufälliges Pivot ⇒ O(n log n) w.h.p.; (2) Median als Pivot (Selektions-Algo); (3) Wechsel auf anderes O(n log n)-Sortier­verfahren, falls Rekursions­tiefe > log n.

Question 3

Wie viele Vergleiche macht QuickSort mit zufälligem Pivot erwartet?

Answer 3

C̄(n) ≤ 2 n ln n.

Question 4

Kernidee des Beweises für diese Schranke bei qs?

Answer 4

Jedes Element­paar wird höchstens ein einziges Mal verglichen, nämlich wenn eines der beiden als Pivot gewählt wird.

Question 5

Definition der Zufalls­variable Xᵢⱼ im Beweis?

Answer 5

Xᵢⱼ = 1, falls die sortierten Elemente e′ᵢ und e′ⱼ direkt verglichen werden, sonst 0.

Question 6

Wahrscheinlichkeit Pr[Xᵢⱼ = 1]?

Answer 6

2 / (j − i + 1).

Question 7

Kurze Beschreibung des MergeSort-Prinzips?

Answer 7

Rekursives Halbieren der Sequenz, sortiere beide Hälften, verschmelze in O(n) zum Ergebnis.

Question 8

Pseudocode-Kern: Welche drei Zeiger nutzt das Merge?

Answer 8

j (linker Block), k (rechter Block), i (Position im Buffer b[ ])

Question 9

Allgemeines Schema eines Divide-&-Conquer-Algor. (Parameter d, b)?

Answer 9

Teile in d Probleme Größe n/b, löse rekursiv, füge in O(c n) Kosten zusammen.

Question 10

Master-Theorem (vereinfachte Version): drei Fälle?

Answer 10

d < b → Θ(n); d = b → Θ(n log n); d > b → Θ(n^{log_b d}).

Question 11

Intuition hinter Fall d < b?

Answer 11

Kosten sinken je Rekursions­level ⇒ erste Ebene dominiert ⇒ Θ(n).

Question 12

Intuition hinter Fall d = b?

Answer 12

Jede Ebene kostet gleich viel ⇒ log_b n Ebenen ⇒ Θ(n log n).

Question 13

Intuition hinter Fall d > b?

Answer 13

Kosten steigen je Ebene ⇒ letzte Ebene dominiert ⇒ Θ(n^{log_b d}).

Question 14

Rolle der geometrischen Reihe bei der Herleitung?

Answer 14

Summiert Ebene-für-Ebene-Kosten cn (d/b)^i; Vergleich zu 1/(1 − d/b) zeigt Konvergenz oder Divergenz.

Question 15

Wie viele Teil­probleme und welche Größe in Ebene i?

Answer 15

d^i Probleme, Größe n/b^i.

Question 16

Praktische Konsequenz der Lower-Bound-Analyse?

Answer 16

Will man < O(n log n) erreichen, muss man nicht vergleichs­basiert sortieren (z.B. Counting-/Radix-Sort).

Question 17

Warum erhält QuickSort trotz gleicher O(n log n) in der Praxis oft den Vorrang gegenüber MergeSort?

Answer 17

In-place-Partition (kein O(n) Extra-Speicher) und bessere Cache-/Konstanten.