Lecture 13 Flashcards

(23 cards)

1
Q

Welche Laufzeiten liefert ein binärer Min-Heap für die vier Grund­operationen?

A

build O(n), insert O(log n), min O(1), deleteMin O(log n).

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2
Q

Definiere die Form-Invariante eines binären Heaps.

A

„Fast vollständiger“ Binärbaum: alle Ebenen voll außer evtl. letzter; letzte linksbündig gefüllt.

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3
Q

Definiere die Heap-Invariante für einen Min-Heap.

A

key(parent) ≤ key(child) für jeden Knoten ≠ Wurzel.

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4
Q

Schritte von deleteMin im Heap?

A

(1) Root sichern, (2) letztes Element nach oben, (3) siftDown. Laufzeit O(log n).

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5
Q

Schritte von insert im Heap?

A

(1) Element ans Ende, (2) siftUp bis Heap-Eigenschaft gilt. O(log n).

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6
Q

Was macht decreaseKey(v,k) und wie teuer ist es?

A

Setzt key(v)=k (k kleiner) und siftUp; O(log n).

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7
Q

Welche Idee steckt hinter HeapSort?

A

SelectionSort verbessern: deleteMin wiederholt aus Min-Heap → sortierte Folge.

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8
Q

Ablauf von HeapSort in drei Stichpunkten

A

build → für i=n−1…1: swap(0,i), Heap-size–, siftDown.

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9
Q

Ist HeapSort stabil? In-place?

A

Nicht stabil, aber in-place.

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10
Q

Welche Sortier­richtung erzeugt Min-Heap-HeapSort standardmäßig?

A

Absteigend; aufsteigend durch Max-Heap.

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11
Q

Zähle alle fünf Sortier­algorithmen der Übersichtsfolie mit wesentlichen Eigenschaften auf.

A

SelectionSort O(n²)/in-place/–;
InsertionSort O(n²)/stabil;
QuickSort avg O(n log n), worst O(n²)/in-place; MergeSort O(n log n)/stabil/O(n) extra;
HeapSort O(n log n)/in-place/–.

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12
Q

Rekursive Definition eines Binomial-Baums Rang r.

A

Wurzel, Kinder sind Binomial-Bäume Rang r−1…0 in dieser Reihenfolge

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13
Q

Anzahl Knoten und Tiefe eines Binomial-Baums Rang r

A

2ʳ Knoten, Tiefe ≤ r.

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14
Q

Wie viele Knoten hat Tiefe ℓ im Rang-r-Baum?

A

C(r, ℓ) (Binomial­koeffizient).

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15
Q

Erhaltung der Heap-Invariante beim Merge zweier Binomial-Bäume Rang r−1?

A

Wurzel mit größerem Key wird Kind der kleineren → neuer Baum Rang r erfüllt Min-Heap.

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16
Q

Zerlegung beim Entfernen der Wurzel eines Rang-r-Baums?

A

Liefert Binomial-Bäume der Ränge r−1,…,0.

17
Q

Definition eines Binomial-Heaps (zwei Invarianten).

A

(1) Jeder Baum erfüllt Min-Heap-Eigenschaft, (2) für jeden Rang ≤⌊log₂ n⌋ existiert höchstens ein Baum.

18
Q

Warum genügen ⌊log₂ n⌋+1 Bäume für n Elemente?

A

Binär­darstellung von n bestimmt eindeutig vorhandene Ränge.

19
Q

Wie funktioniert merge(H₁,H₂) zweier Binomial-Heaps?

A

Binär­addition ihrer Baum­listen: Bäume gleichen Rangs werden paar­weise gemerged. O(log n)

20
Q

Kosten von insert(e) im Binomial-Heap.

A

Merge mit Einzel­baum Rang 0 ⇒ O(log n).

21
Q

Schrittfolge von deleteMin() im Binomial-Heap.

A

Entferne min-Baum­wurzel (Rang r) → er zerfällt in Bäume r−1…0 → merge mit Rest. O(log n).

22
Q

Warum ist min() in Binomial-Heaps O(1)?

A

Separater Zeiger auf Wurzel mit kleinstem Key.

23
Q

Welche Operation unterstützt Binomial-Heap effizienter als ein binärer Heap?

A

merge zweier Heaps (O(log n) vs. O(n)).