Lecture 11

Question 1

Warum kann kein vergleichs­basierter Sortier­algo schneller als Θ(n log n) sein?

Answer 1

Entscheidungs­baum hat ≥ n! Blätter ⇒ Höhe ≥ log₂(n!) ≥ n log n − O(n).

Question 2

Welches Modell nutzt der Beweis der Unter­schranke?

Answer 2

Binärer Entscheidungs­baum, jeder Knoten = Schlüssel­vergleich, jedes Blatt = Permutation.

Question 3

Wie kann man dennoch schneller als n log n sortieren?

Answer 3

Nur durch Ausnutzen strukturi­erter Schlüssel (Ziffern/Zahlen) – nicht rein durch Vergleiche.

Question 4

Prinzip von Bucket-Sort (kSort)?

Answer 4

Verteile jedes Element in Bucket key(e); konkateniere Buckets in Schlüssel­folge.

Question 5

Laufzeit & Speicher von Bucket-Sort?

Answer 5

Θ(n + K); Speicher Θ(n + K). Gut, falls K ∈ o(n log n).

Question 6

Warum muss Bucket-Sort stabil sein?

Answer 6

Nur dann bleibt relatives Ordering gleicher Schlüssel erhalten – wichtig für RadixSort.

Question 7

Annahme für RadixSort-Schlüssel?

Answer 7

Zahlen 0 … Kᵈ−1, dargestellt durch d Ziffern im Basis-K-System.

Question 8

RadixSort-Ablauf (LSB-Variante)?

Answer 8

d-mal von niedrigster zur höchsten Ziffer stabil mit kSort sortieren.

Question 9

Wieso funktioniert RadixSort nur mit stabilem „innerem“ Sort?

Answer 9

Nach Sortieren über Stelle i müssen Elemente mit gleicher i-ter Ziffer sortiert nach Stellen <i bleiben.

Question 10

Komplexität von RadixSort?

Answer 10

Θ(d (n + K)).

Question 11

Was ist das Rang-Selektions­problem?

Answer 11

Finde das k-kleinste Element einer Menge von n Elementen.

Question 12

Naive Lösung & Laufzeit für Rang-Selektion?

Answer 12

Sortieren (Θ(n log n)) und Element k ausgeben.

Question 13

Grundidee QuickSelect?

Answer 13

Wie QuickSort, aber nach Partition nur in die Seite rekursieren, die k enthält.

Question 14

Partitioniert QuickSelect das Feld vollständig?

Answer 14

Ja, in drei Teile: a (< p), b (= p), c (> p); nur relevanter Teil wird weiter betrachtet.

Question 15

Definition eines „guten“ Pivots im Beweis?

Answer 15

Weder a noch c enthält > 2/3 der Elemente → Pivot liegt im mittleren Drittel.

Question 16

Wahrscheinlichkeit für einen guten Pivot bei Zufalls­wahl?

Answer 16

p = 1/3.

Question 17

Worst-Case-Laufzeit von QuickSelect?

Answer 17

O(n²) (wenn Pivot immer schlechteste Wahl).

Question 18

QuickSelect-Pseudocode: Welche Schlüssel­schritte?

Answer 18

Zufalls-Pivot wählen → partitionieren → je nach k links/rechts rekursieren oder return Pivot.

Question 19

Wozu taugt QuickSelect praktisch?

Answer 19

Median-Berechnung, k-te Statistik, Pivot-Wahl für QuickSort, Load-Balancing

Question 20

Wann ist Bucket-Sort ungeeignet?

Answer 20

Wenn K ≫ n log n (zu viel Speicher & Zeit).