Rechnen

Question 1

Welche Rechengesetze und Regeln gibt es?

Beweise

Answer 1

Kommutativgesetz (Addition und Multiplikation)
Assoziativgesetz (Addition und Multiplikation)
Distributivgesetz
Kürzungsregeln der Addition und Multiplikation
Neutrales Element
Kleinerrelation
Wohlordnungseigenschaft

Question 2

Begriffe und Merkmale vom Rechnen allgemein:

Answer 2

Ziffernrechnen
Algorithmen charakteristisch
 endliche Abfolge von eindeutigen bestimmten Schritten, die den Lösungsweg eines Problems exakt und vollständig beschreiben
Gesetzmäßigkeiten der Operationen als Grundlage
Minimierung der Kopfrechenanforderungen
Regelgeleitetes Ziffernrechnen im Positionssystem
Universalität
Möglichkeit rein mechanischen Rechnens

Question 3

Welche Argumente sprechen FÜR schriftliches Rechnen?

Answer 3

• Kulturhistorische Bedeutung:
Prozess der Algorithmisierung als Teil mathematischer Kultur
 Unterrichtliche Thematisierung als Kulturgut statt als Kulturtechnik
• Förderung und Festigung des Verständnisses des dezimal Stellenwertsystems
Stellenwert- und Bündelungsprinzip, Funktionen und Bedeutung von Null
• Vielfalt an Rechenmöglichkeiten:
Gemeinsamkeiten, Grenzen, Vorteile von Kopf-, halbschriftlichem und schriftlichem Rechen
•  Flexibilisierung des Rechnens

Question 4

Welche Argumente sprechen GEGEN schriftliches Rechnen?

Answer 4

• praktischer Nutzen angesichts der Verbreitung von Rechenmaschinen
• alternative Inhalte (Interpretation von Diagrammen)
• Bild von Mathe als Regelwerk (da wollen wir ja eigentlich von weg)
• Verständnis vom Mathematiklernen als konstruktivem Prozess des Individuums

Question 5

Beschreibe fortschreitende Schematisierung!

Answer 5

Vertikale Mathematisierung (informelle Ansätze --> konventionalvisierten Verfahren und Techniken) 
Horizontale Mathematisierung (Sachproblem --> Mathematischen Modell) 

• nicht volle, aber hinreichende Komplexität von Anfang an (Zehnerübergänge, Nullen, …), herausfordernd aber nicht überfordernd –> ganzheitliche Behandlung
• durchgehender Realitätsbezug
• SuS entwickeln zunehmend effizientere und elegantere Rechenwege
• Übergang von halbschriftlichen zu schriftlichem Rechnen
• LP orientiert und regt an
• ICH: Informelle Schülerlösungen sind Ausgangspunkt
  DU: gemeinsame Reflektion
  WIR: Unterstützung zunehmend effizientere, weniger fehleranfällige und elegantere Rechenwege zu erwerben

Question 6

Welche informellen Lösungsstrategien gibt es in den Grundrechenarten?

Answer 6

Addition: 
vollständiges Auszählen 
Weiterzählen
(vom ersten Summanden aus) 
Weiterzählen 
(vom größeren Summanden aus) 
Weiterzählen 
(vom größeren Summanden in größeren Schritten) 

Subtraktion: 
Rückwärtszählen
(um eine gegebene Anzahl von Schritten) 
Rückwärtszählen 
(bis zu einer gegebenen Zahl) 
Vorwärtszählen

Multiplikation:
vollständiges Auszählen 
(direktes Modellieren mit Material) 
rhythmisches Zählen 
(in gleichgroßen Teilabschnitten) 
Benutzung von Zahlenfolgen 
multiplikative Rechnung 

Division: 
vollständiges Auszählen 
(„direct counting“)
wiederholte Subtraktion 
Wiederholte Addition 
Rückgriff auf Multiplikation

Question 7

Welche Rechenstrategien gibt es?

Answer 7

Rechengesetze 
Tauschaufgaben 
Analogieaufgaben, stellenweise, Zerlegung
Verdoppeln/Halbieren 
Nachbaraufgaben
Umkehraufgaben

Question 8

Produktives Üben

Answer 8

• ist strukturiert (nicht unstrukturiert)
• ist formal (nicht gestützt)

Aufgaben liegen vor, wenn
… das Kind veranlasst wird, eigene Denkleistungen zu erbringen, Hindernisse/Widerstände nicht aus dem Weg geräumt werden (nur so lernt man zu überwinden)
… an den unterschiedlichen Schwierigkeitsniveaus Lernschwache wie Lernstarke beteiligen können (innere Differenzierung)
… Bewusstheit und Verantwortung der SuS für Lernen gefördert wird,
… das Lernen über Sinnzusammenhänge erfolgt
… das Lerne dem Wesen der Mathematik entspricht
… starke persönliche Beteiligung (bei Erarbeitung von Kenntnissen, Fähigkeiten, Denkstrategien) zu besseren Langzeiterfolgen führen.