Aussagenlogik Flashcards
(7 cards)
Satz 2.1:
Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetz für Aussagen
Seien p,q und r Aussagen, dann gilt:
A) nicht (nicht p) = p
B) (p<=>q) <=> (p=>q) und (q=>p)
C) Assoziativgesetz für “und”: (p und q) und r <=> p und (q und r)
Assoziativgesetz für “v”: (p v q) v r <=> p v (q v r)
D) Kommutativgesetz für “und”: p und q <=> q und p
Kommutativgesetz für “v”: p v q <=> q v p
E) Distributivgesetz:
I) p und (q v r) <=> (p und q) v (p und r) II) p v (q und r) <=> (p v q) und (p v r)
F) I) nicht (p v q) <=> nicht p und nicht q
II) nicht (p und q) <=> nicht p v nicht q
III) (p => q) <=> nicht p v q
IV) nicht (p => q) <=> p und nicht q
Definition 2.1:
Aussagen
Unter einer Aussage p versteht man ein sprachliches Gebilde, von dem objektiv feststeht, ob es wahr (w) oder falsch (f) ist. Man spricht von “wahren Aussagen” bzw. “falschen Aussagen”. Jede Aussage enthält ein Subjekt und ein Prädikat. Die Variablen p und q nennt man Aussagenvariablen.
Definition 2.2:
Negation einer Aussage
Sei p eine Aussage:
Das Zeichen (siehe Unterlagen) bezeichnet die Verneinung, bzw. die Negation dieser Aussage. Sprachlich: nicht p, bedeutet: Es ist nicht der Fall, dass p gilt. Der Wahrheitswert von p ändert sich!
Definition 2.3:
Konjunktion, Disjunktion, Folgerung/Implikation, Äquivalenz
Seien p und q Aussagen:
A) Konjunktion: “Es ist p und q” … siehe Symbol in Unterlagen.
Diese zusammengesetzte Aussage ist genau dann wahr, wenn p und q wahr sind.
B) Disjunktion: Die Aussage “p v q” (gespr. “p oder q”) nennt man Disjunktion der Aussagen p,q. Die Aussage “p v q” ist genau dann wahr, wenn p oder q wahr ist bzw. sind.
C) Implikation: Die Aussage “p => q” heißt Folgerung bzw. Implikation. Gesprochen: “aus p folgt q”. Aus etwas Falschem (f) kann man alles folgern, aus etwas Wahrem nur Wahres. (In der Wahrheitstafel ist die Folgerung nur dann falsch, wenn q falsch ist. Ansonsten ist es immer wahr.)
D) Äquivalenz: “p <=> q”, gesprochen als “p genau dann, wenn q” oder “p ist äquivalent zu q” bezeichnet die Äquivalenz. “P <=> q” ist eine Zusammensetzung aus “p => q” und “p <= q”.
Definition 2.4:
Tautologie, Widerspruch, logisch äquivalent, logische Folgerung
A) Eine Aussage heißt Tautologie, wenn sie unter allen Belegungen der beteiligten Aussagenvariablen wahr ist.
B) Eine Aussage heißt ungültig, Widerspruch oder Kontradiktion, wenn sie unter allen Belegungen von Wahrheitswerten falsch ist.
C) Zwei Aussagen heißen logisch äquivalent, wenn die Aussage p <=> allgemeingültig bzw. eine Tautologie ist.
D) Ist die Aussage p <=> allgemeingültig bzw. eine Tautologie, so sprechen wir von einer logischen Folgerung.
Satz 2.2 und Definition 2.5:
Transitivität
Seien p,q und r Aussagen, dann gilt:
A) (p => q) und (q => r) => (p => r)
B) (p <=> q) und (q <=> r) => (p<=> r)
ist allgemeingültig! Man nennt die Aussagen Transitivität.
Satz 2.3:
Direkter Beweis, Widerspruchsbeweis, Fallunterscheidung, Kontraposition
Seien p und q Aussagen, dann gilt:
A) Direkter Beweis: p und (p => q) => q
B) Widerspruchsbeweis: [nicht q => (p und nicht q)] => q
C) Fallunterscheidung: [(p v nicht p) => q] =q
D) Kontraposition: (p => q) <=> (nicht q => nicht p)
