Einblick in die Funktionenlehre

Question 1

Definition 7.1:

Kartesisches Produkt

Answer 1

Unter einem kartesischem Produkt M1 X M2, wobei M1und M2 nicht leere Mengen sind, versteht man die Menge aller geordneten Paare (x,y), wobei die erste Komponente (x-Wert) aus M1 und die zweite Komponente (y-Wert) aus M2 stammt.

Formal: M1 X M2 = {(x,y)| x € M1 und y € M2}

Question 2

Definition 7.2:

Zweistellige) Relation (s. Def. 6.1

Answer 2

Eine (zweistellige) Relation R zwischen den Elementen zweier Mengen M1 und M2 ist eine Teilmenge von M1 X M2.

Formal: R teilt M1 X M2

Question 3

Definition 7.3:

Die Menge der rationalen Zahlen wird beschrieben durch:

Answer 3

IQ: = {Z⁄  X Z⁄  Differenz {0}|~}
~: = x Index 1 durch x Index 2 | x € Z⁄  und x Index 2 € Z⁄  Differenz {0}

Mit siehe Unterlagen!

Question 4

Satz 7.1:

Existenz nicht rationaler Zahlen

Answer 4

Beispiele irrationaler (nicht rationaler) Zahlen sind:

√2,√3,π,e

Dezimalzahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen, ohne Perioden.

Question 5

Definition 7.4:

Die reellen Zahlen

Answer 5

Die Menge der reellen Zahlen bildet alle Punkte auf der Zahlengerade ab

Im Zeichen: IR

Question 6

Definition 7.5:

Links-/rechtstotal, links-/rechtseindeutig

Answer 6

Seien A und B Mengen, sowie R teilt A X B eine Relation zwischen A und B:

R heißt linkstotal, wenn gilt: Für alle x € A: Es existiert ein y € B: (x,y) € R

R heißt rechtstotal, wenn gilt: Für alle y € B: Es existiert ein x € A: (x,y) € R

R heißt linkseindeutig, wenn gilt: (x Index 1,y) € R und (x Index 2,y) € R => x Index 1 = x Index 2

R heißt rechtseindeutig, wenn gilt: (x,y Index 1) € R und (x,y Index 2) € R => y Index 1 = y Index 2

Question 7

Definition 7.6:

Funktionen

Answer 7

Eine Relation R teilt A X B heißt Funktion von A nach B (Synonym: Abbildung), wenn gilt:

1) Zu jedem x € A gilt es ein y € B mit (x,y) € R, d.h. Die Relation ist linkstotal.
2) Zu (x,y Index 1) € R und (x,y Index 2) € R folgt: y Index 1 = y Index 2, d.h. Die Relation ist rechtseindeutig.

Anders ausgedrückt:

Eine Funktion ist eine Relation die jedem Element des Definitionsbereiches genau eines aus dem Wertebereich zuordnet.

Question 8

Definition 7.7:

injektiv, surjektiv, bijektiv

Answer 8

f: A –> B sei eine Funktion.

f heißt injektiv: <=> f ist linkseindeutig

Formal: Für alle x Index 1, x Index 2 € A: f(x Index 1) = f(x Index 2) => x Index 1 = x Index 2

f heißt surjektiv: <=> f ist rechtstotal

Formal: Für alle y € B: Es existiert ein x € A: f(x) = y

f heißt bijektiv: <=> f ist in injektiv und surjektiv

Formal: f: x –> sin(x), A = B = R