Primzahlen Flashcards
(10 cards)
Primzahlen
PZ sind durch 1 und sich selbst teilbar
1 ist kein Element von IP
Es existieren unendlich viele PZ
2 ist die einzige gerade PZ
IP c IN
Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie:
Jede natürliche Zahl ist darstellbar als Produkt von Primzahlen
Es existiert keine Formel/kein Satz zur eindeutigen Bestimmung von Primzahlen
Definition 5.1
Primzahl
Eine natürliche Zahl heißt Primzahl (PZ), falls gilt:
- p ≠ 1
- Tp = {1,p}
Ansonsten heißt die Zahl zerlegbar.
IP bezeichnet die Menge aller Primzahlen.
IP = {2,3,5,7,….}
Satz 5.1:
Primteiler
Sei a € IN: Der kleinste von 1 verschiedene Teiler von a ist eine Primzahl. Sie wird Primteiler genannt.
Satz 5.2:
Satz von Euklidische
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Satz 5.3:
Seien a,b € IN und p € IP. Dann gilt:
P|a mal b => p|a v p|b
Satz 5.4:
Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie
Jede natürliche Zahl n>1 lässt sich eindeutig (bis auf Reihenfolge der Faktoren) als Produkt von Primzahlen darstellen.
Definition 5.2:
kanonische PFZ
Als kanonische PFZ einer Zahl n € IN >1 versteht man die Darstellung: siehe Unterlagen!
Bsp.: 24 = 2 mal 2 mal 2 mal 3 = 2 hoch 3 mal 3 hoch 1
Satz5.5:
Teilbarkeit und PFZ
Es sei b = (kanonische PFZ), eine Zerlegung von b in Primfaktoren und ebenso a = (kanonische PFZ), wobei Beta¡, Alpha¡ größer oder gleich 0, für ¡ € {1,…,r}
Es gilt: a|b <=> Alpha¡ ≤ Beta¡ für ¡ € {1,…,r} Siehe Unterlagen!
Satz 5.6:
Anzahl der Teiler einer Zahl
Die Teilermenge Ta einer natürlichen Zahl a = p Index 1 Hoch Alpha 1 mal … p Index r Hoch Alpha r (siehe Unterlagen) besitzt (Alpha Index 1 + 1) mal (Alpha Index 2 + 1) mal … (Alpha Index r + 1) viele Elemente (wobei Alpha¡ e IN mit 0 für ¡ € {1,…,r}.
Bsp.: |T50| = 6 = (2 + 1) mal (1 + 1) = 3 mal 2
50 = 5 Hoch 2 mal 2 Hoch 1
Satz 5.7:
GgT und kGV bei PFZ
Siehe Unterlagen!
