Natürliche Zahlen Und ihre Struktur Flashcards
(8 cards)
Definition 3.1:
Peano-Axiome für die natürlichen Zahlen
Die natürlichen Zahlen bilden eine Menge IN mit einem ausgezeichneten Element 1 € IN und einer Abbildung s: IN -> IN (“successor”, Nachfolger), für welche folgende Bedingungen erfüllt sind:
P1: 1 € IN (die 0 gehört hier nicht dazu)
P2: n € IN => s(n) € IN
P3: Für alle m, n € IN: s(m) = s(n) => m = n
P4: Für jede Teilmenge M der natürlichen Zahlen IN mit:
A) 1 € M B) Für alle n € M => s(n) € M gilt: M = IN
Bedingung für jedes Axiomensystem: Vollständigkeit, Widerspruchsfreiheit, Unabhängigkeit.
Satz 3.1:
Eindeutige Darstellung einer natürlichen Zahl mit Basis g
Jede natürliche Zahl n lässt sich bei gegebener Basis g größer oder gleich 2 eindeutig darstellen als:
n = a Index 0 mal g^1 + a Index 1 mal g^1 + a Index 2 mal g^2 +…+ a Index k mal g^k
Mit: 0 ≤ a Index i ≤ g - 1 für i € {0,1,…,k} und a Index k ≠ 0, a Index i € IN
(Siehe Unterlagen)
Bsp.: g = 10
5384 = 4 mal 10^0 + 8 mal 10^1 + 3 mal 10^2 + 5 mal 10^3
A Index 0 = 4 –> siehe Stellenwertsystem “Einer”
A Index 1 = 8 –> siehe Stellenwertsystem “Zehner”
A Index 2 = 3 –> siehe Stellenwertsystem “Hunderter”
A Index 3 = 5 –> siehe Stellenwertsystem “Tausender”
Definition 3.2:
Basis der Darstellung, Ziffern der Darstellung
Sei n € IN wie in Satz 3.1 angegeben, dann heißt:
G die Basis der Darstellung im g-dänischen Stellenwertsystem.
Die a¡’s nennt man Ziffern der Darstellung. Jeweils werden g Einheiten zum nächst höheren Stellenwert gebündelt.
Bezeichnung: (a Index k mal a Index k-1…. mal a Index 1 mal a Index 0) Index g
Definition 3.3:
Addition in IN
Seien m,n € IN, dann definiert man die Addition wie folgt:
1) n+1 := s(n)
2) n+s(m) := s(n+m)
Definition 3.4:
Multiplikation in IN
Seien m,n € IN, dann definiert man die Multiplikation wie folgt:
1) n mal 1:= n
2) n mal s(m) := n mal m + n
Satz 3.2:
Nachfolger jeder natürlichen Zahl
Für jede natürliche Zahl n € IN gilt:
S(n)≠n
Satz 3.3:
Vollständige Induktion
Sei n € IN und p(n) eine Aussage, dann gilt:
P(1) und [Für alle n € IN mal p(n) => p(n+1)] => Für alle n € IN: p(n)
–> Idee: Wenn eine Aussage für eine Zahl gilt, dann auch für den Nachfolger dieser Zahl.
Ein Induktionsbeweis (ein Beweis per vollständiger Induktion) besteht aus den Schritten:
(IA): Induktionsanfang: Zeigen, dass p(1) oder p(x) wahr ist. (Nur dann Aussage für alle natürlichen Zahlen)
(IV): Induktionsvoraussetzung: Nehme an, dass die Aussage für ein beliebiges, aber festes n € IN gelte.
(IS): Induktionsschluss: Zeige, dass unter der Voraussetzung von IV p(n+1) wahr ist bzw. gilt.
