Mengenlehre

Question 1

Satz 1.1:

Seien A und B Mengen, dann gilt:

Answer 1

I) A vereinigt B = B vereinigt A

II) A vereinigt A = A

III) A vereinigt leere Menge = leere Menge

IV) A vereinigt B teilt A und B vereinigt A teilt B

Question 2

Definition 1.1:

Menge, Elemente, leere Menge

Answer 2

Unter einer Menge versteht man die Zusammenfassung von bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten zu einem Ganzen.

• Diese bestimmten, wohlunterschiedenen Objekte werden Elemente genannt.
• Eine Menge nennen wir leer, wenn sie keine Elemente enthält.

Question 3

Definition 1.2:

Teilenden

Answer 3

A) Eine Menge M1 heißt Teilmenge einer Menge M2, falls jedes Element von M1 in M2 enthalten ist.

M1 teilt M2 <=> Für alle x € von M1 => x € von M2

B) Eine Menge M1 heißt echte Teilmenge von M2, falls M1 teilt M2 und M1 ungleich M2. D.h. es existiert mindestens ein Element in M2 welches nicht in M1 enthalten ist.

Man schreibt: M1 c M2

M1 c M2 <=> M1 teilt M2 und M1 ungleich M2

Question 4

Definition 1.3:

Vereinigungsparteitag

Answer 4

Unter der Vereinigungsmenge zweier Mengen M1 und M2 versteht man die Menge aller Elemente, die einer der beiden Mengen angehören.

M1 U M2 := {x| x € M1 v x € M2}

Question 5

Definition 1.4:

Schnitte nie

Answer 5

Unter der Schnittmenge von M1 und M2 versteht man die Menge aller Elemente, die zu M1 und M2 gehören.

M1 schneidet M2 := {x| x € M1 und x € M2}

Question 6

Satz 1.2:

Assoziativgesetze für Mengen

Seien A,B,C Mengen, dann gilt:

Answer 6

I) A schneidet (B schneidet C) = (A schneidet B) schneidet C

II) A U (B U C) = (A U B) U C

Question 7

Satz 1.3:

Seien A,B,C Mengen, dann gilt:

Answer 7

A schneidet (B schneidet C) = (A schneidet B) U (A schneidet C)

Question 8

Definition 1.5:

Differenzmenge

Answer 8

Unter einer Differenzmenge der Mengen M1 und M2 versteht man die Menge aller Elemente, die zu M1 gehören, aber nicht zu M2.

M1 \ M2

Formal: M1 \ M2 = {x| x € M1 und x kein Element von M2}

Question 9

Definition 1.6:

Mächtigkeit

Answer 9

Unter der Mächtigkeit einer Menge M versteht man die Anzahl der Elemente in dieser Menge.

|M|

Bsp.: M1 = {a,b,c} => |M1| = 3

Question 10

Definition 1.7:

Gleichheit von Mengen

Answer 10

Zwei Mengen M1 und M2 heißen gleich, wenn sie die selben Elemente enthalten.

Formal: M1 = M2 <=> M1 teilt M2 und M2 teilt M1