Ganze Zahlen Flashcards
(20 cards)
Definition 6.1:
Relation
Eine zweistellige Relation R zwischen den Elementen zweier Mengen M1 und M2 ist eine Teilmenge von M1 X M2.
Formal: R teilt M1 X M2
Definition 6.2:
ganze Zahlen
Auf IN mit 0 X IN mit 0 sei folgende Relation gegeben:
(X Index 1, x Index 2) ~ (y Index 1, y Index 2): <=> x Index 2 + y Index 1 = x Index 1 +y Index 2
Die durch diese Relation eingeführten Klassen von Zahlen nennt man ganze Zahlen (Z⁄ ).
Bsp.: (9,3) ~ (10,4) <=> 3 + 10 = 9 + 4
(3,9) ~ (4,10) <=> 9 + 4 = 3 + 10
Einige Voraussetzungen zum Rechnen in Z⁄ :
1) Kommutativgesetze bzgl. “+” und “mal”
2) Assoziativgesetze bzgl. “+” und “mal”
3) Distributivgesetz
4) Kürzungsregeln bzgl. “+” und “mal”
5) Neutrales Element bzgl. “+” und “mal”
6) Kleinerrelation “ es existiert ein t € IN: a + t = b (a,b € Z⁄ )
7) Trichotomie
8) Transitivität
9) Monotonie bzgl. "+" und "mal"
A<b> a + c < b + c
A<b> 0 => a mal c < b mal c
A<b> a mal c > b mal c
A<b> a mal c = b mal c
10) Wohlordnungsprinzip gilt nicht, da in {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…} kein kleinstes Element vorhanden ist.</b></b></b></b>
Definition 6.3:
Betrag
Der Betrag einer Zahl a € Z⁄. Wird definiert durch:
|a| = {a, falls a größer oder gleich 0}
{-a, falls a < 0}
Bsp.:
a = -6 |a| = -6 = 6 a = 2 |a| = 2 a = 0 |a| = 0
Definition 6.4:
Teilbarkeit
Eine Zahl a € >Z⁄ teilt eine Zahl b € Z⁄ , falls es ein t € Z⁄ gibt, so dass a mal t = b
Satz 6.1:
Eigenschaften des Betrages
Für alle a,b,c € Z⁄ gilt:
a) |a| = |-a|
b) |a| = 0 <=> a = 0
c) |a mal b| = |a| mal |b|
d) |a + b| ≤ |a| + |b| (Dreiecksungleichung)
Bsp.:
a = -3
b = 7
|a + b| = 4
|a| + |b| = 3 + 7 = 10
Satz 6.2:
Eigenschaften der Teilbarkeit in Z⁄
Für a,b,c € Z⁄ gilt:
a) Aus a|b und b ≠ 0 folgt |a| ≤ |b|
b) 1|a und a|a und a|0
c) Aus 0|a folgt a = 0
d) Aus a|b und b|c folgt a|c (Transitivität)
e) Aus a|b und b|a folgt |a| = |b|
Defintion 6.5:
Kongruent zu Modul der Kongruenz
Seien a,b € Z⁄ , m € IN. Dann heißt a Kongruent zu b modulo m, wenn gilt:
m|(a-b)
m heißt der Modul der Kongruenz
Im Zeichen a kongruent zu b (mod m)
Satz 6.3:
Zusammenhang von Division mit Rest und Kongruenzen
Es sei a,b € Z⁄ und m € IN, dann gilt:
a kongruent zu b (mod m) <=> a und b lassen bei Division den selben Rest.
Satz 6.4:
Eigenschaften der Relation “kongruent zu”
Es seien a,b € Z⁄ , m € IN. Die Relation “Kongruent modulo m” hat folgende Eigenschaften:
i) a kongruent zu a (mod m) (Reflexivität)
ii) a kongruent zu b (mod m) => b kongruent zu a (mod m) (Symmetrie)
iii) a kongruent zu b (mod m) und b kongruent zu c (mod m) => a kongruent zu c (mod m) (Transitivität)
Satz 6.5:
Rechenfehlern für Kongruenzen
i) Es gelte a kongruent zu b (mod m) und c kongruent zu d (mod m), dann ist:
a) a + c kongruent zu b + d (mod m)
b) a - c kongruent zu b - d (mod m)
c) a mal c kongruent zu b mal d (mod m)
ii) Es gelte a mal k kongruent zu b mal k (mod m) und ggT(k,m) = d, dann:
a kongruent zu b (mod m durch d)
Satz 6.6:
Ersetzungsregel
Für alle a,b,c € Z⁄ und m € IN gilt:
a ± b kongruent zu c (mod m) und a kongruent zu a’ (mod m)
=> a’ ± b kongruent zu c (mod m)
Satz 6.7:
Verknüpfungsregel
Für alle a,b,c € Z⁄ und m,k € IN gilt:
i) a kongruent zu b (mod m) => a ± c kongruent zu b ± c (mod m)
ii) a kongruent zu b (mod m) => a hoch k kongruent zu b hoch k (mod m)
Definition 6.7:
Restklassen
Es sei m € IN und a € Z⁄ , dann heißt:
Restklasse a = {x € Z⁄ | x kongruent zu a (mod m)} die Restklasse von a mod m
Satz 6.8:
Für Restklassen mod m gilt:
(A,b € Z⁄ , m € IN):
Restklasse a = Restklasse b <=> (mod m)
Satz 6.9:
Eigenschaften von Restklassen
Für Restklassen mod m gilt:
a) keine Restklasse ist leer.
b) Restklassen sind paarweise disjunkt. (d.h. Restklasse a schneidet Restklasse b = ø, wenn Restklasse a ≠ Restklasse b)
c) Jedes Element von Z⁄ liegt in genau einer Restklasse.
Satz 6.10:
Es gibt genau m Restklassen modulo m.
Satz 6.11:
Sei (x Index 0,y Index 0) eine Lösung der diophantischen Gleichung ax + by = c
Dann besteht die Lösungsmenge genau aus den Paaren (x Index 0 + k mal b durch d, y Index 0 - k mal a durch d) mit k € Z⁄ , d = ggT(a,b)
Diophantische Gleichungen
ax + by = c
- -> linear Kombination ax + by
- -> Darstellung des ggT ax + by = ggT(a,b)
x,y € Z⁄ : 30x + 5y = 34 –> ggT(30,5) muss 34 teilen
Vorgehensweise zur Lösung einer DG:
- Bestimme ggT(a,b) = d
- Prüfe, ob d|c. Wenn ja, dann ist DG lösbar. Wenn nicht, dann ist DG nicht in Z⁄ lösbar.
- Wenn d|c, dann wird die Gleichung durch d geteilt. Da ggT(a,b) = d ist a durch d, b durch d, c durch d € Z⁄.
- Finde eine spezielle Lösung (x Index 0, y Index 0)
- Die Lösungsmenge ergibt sich auch den Paaren (x Index 0 + k mal b durch d, y Index 0 - k mal a durch d) mit k € Z⁄.
Satz 6.12:
Sei ggT(a,b) = 1
Dann kann c eine beliebige Zahl sein.
Multiplizieren mit bel. Zahl c € Z⁄ führt zum Erfolg.
