Der Gaußalgorithmus

Question 1

Erkläre das Vorgehen beim Gaußalgorithmus!

Answer 1

• Alles links von 1 ist 0? Weitermachen!
• Auf Pivot Position steht eine 0, aber es gibt in der Spalte Zahlen ungleich 0? Zeilentausch!
• Die Zahl auf der Pivot Position ist ungleich 1? Zeile so multiplizieren, dass eine 1 auf Pivot Position ist.
• Über und unter der Pivot 1 sind Zahlen ungleich 0? MIT ZEILE, IN DER PIVOT 1 ist, Spalte 0 machen.

Question 2

Ist jede Matrix in Treppennormalform überführbar und wenn ja, wie, und wie notiere ich dies?

Answer 2

Jede ist mit endlich vielen Elementarmatrizen in Treppennormalform überführbar.
Es, Es-1, …, E2,E1A=T (s etc. alles klein als Index. T bedeutet Matrix in Treppennormalform)

Question 3

Gegeben sei Es, Es-1, …, E2,E1A=T. Wir wollen alle einzelnen Elementarmatrizen in eine einzige Matrix S überführen. Wie geht das?

Answer 3

• Wie wenden alle Elementarmatrizen auf die Matrix A und auf eine Einheitsmatrix Im an. Diese schreiben wir nebeneinander, mit einem Strich getrennt, in denselben Klammern. Die Anzahl von Zeilen/Spalten von Im ist gleich der Spaltenindizes von A (also der Anzahl von Spalten mit Pivot Positionen (was ich sogleich daran erkennen kann, wie viele Zeilen und Spalten A hat. Hat sie 6 Zeilen und 4 Spalten, sind die letzen beiden Zeilen Nullspalten, weshalb ich die Einheitsmatrix 4x4 mache)
• Wir überführen A in Treppennormalform und wenden dieselben Schritte auf Im an.
• Am Ende ist die Gleichung SA=T