Treppennormalform

Question 1

Wann liegt eine Treppennormalform vor?

Answer 1

Entweder eine Nullmatrix, oder …

• Spaltenindizes sind jeweils 1 (Jene Spalte hat nur eine 1)
• Ober und unterhalb einer 1 sind nur Nullen
• Alles was links einer 1 ist, muss 0 sein.
• alle Zeilen nach r sind Nullzeilen: es braucht also Nullzeilen, wenn Matrix nicht quadratisch ist. Z.B müssen bei 6 Zeilen und 4 Spalten die letzten 2 Zeilen Nullzeilen sein.
• recht von Treppe kann eigentlich stehen was will

Question 2

Wie nennt man die Indizes j1 ….jr?

Answer 2

ausgezeichnete Spaltenindizes. Also Inzides, die ausgezeichnet, also dargelegt, sind.

Question 3

Zeichne die Spaltenindizes 2,3,5,7 aus. Was ist dann r? Was ist r allgemein?

Answer 3

j1= 2, j2= 3, j3= 5, j4= 7, und es ist r = 4

Die Anzahl der ausgewiesenen Spaltenindizies, also der Spalten mit Pivot 1en

Question 4

Was sind Pivot Positionen und wie notiert man sie?

Answer 4

Sei A eine Matrix in Treppennormalform mit ausgezeichneten Spaltenindizes j1< j2< · · · < jr. Die Paare (1, j1), (2, j2), . . . (r, jr) nennt man Pivot-Positionen. Also (Zeile 1, spalte: ), (Zeile 2, Spalte: )…

Question 5

Geben Sie ein Beispiel für eine Matrix A ∈ M64(R) in Treppennormalform, die die Pivot-Positionen (1, 2) und (2, 4) hat. Zeigen Sie anhand dessen das Vorgehen, um eine Treppennormalform zu erstellen. (Was muss alles 0 sein?

Answer 5

6 Zeilen 4 Spalten zeichnen. Pivot Einsen eintragen. Regeln beachten. Alles über und unter 1 ist 0. Alle solchen Regeln anwenden. Nur in erster Zeile bleibt eine Variable offen. Dies kann jede Zahl sein.

Question 6

Welche Matrizen A ∈ M33(R) in Treppennormalform sind invertierbar?

Answer 6

Wenn A nicht die 3× 3-Einheitsmatrix ist, dann besitzt A eine Nullzeile, genauer, die letzte Zeile von A ist eine Nullzeile. Dann gilt für alle Matrizen X ∈ M33(R), dass die Matrix AX in der letzten Zeile eine Nullzeile hat. Da das neutrale Element der MAtrizenmultiplikation Im ist, und Im in der letzten Zeile eine Eins hat. A ist also nicht invertierbar.

Wenn A hingegen die 3 × 3-Einheitsmatrix ist, dann ist A invertierbar.

Also ist die einzige invertierbare Matrix in Treppennormalform in M33(R), die invertierbar ist, die 3 × 3-Einheitsmatrix.