Eindeutigkeit der Treppennormalform Flashcards
(3 cards)
Sei eine erste Spalte in einer Matrix 0 2 2 Habe ich am Ende eine unterschiedliche Treppennormalform, je nachdem, ob ich die zweite oder dritte Zeile auf die erste Zeile getauscht hätte? (beides erlaub mir der Gaußalgorithmus).
Die Treppennormalform ist dieselbe, aber die Elementarmatrix bzw. das Produkt von Elementarmatrizen (was rechts vom Strich steht), und was die Zeilenumformungen bewirkt, ist ein anderes.
Was besagt die Eindeutigkeit der Treppennormalform?
Sei A eine Matrix. Auf A wenden wir elementare Zeilenumformungen an und erhalten T und T´, beides Matrizen in Treppennormalform. Dann gilt T=T´
Vereinfacht besagt dies, es gibt nur eine einzige Matrix in Treppennormalform, in die sich A durch elementare Zeilenumformung überführen lässt. Die Wege dahin können jedoch unterschiedlich sein, bspw. wenn ich Zeile 1 durch Zeile 2 und das andere mal durch Zeile 3 tausche. Beides ist zulässig, und beides führt zur selben Treppennormalform (Produkt der Elementarmatrizen ist nur unterschiedlich).
A und B haben dieselbe Treppennormalform. Was bedeutet dies für Zeilenäquivalenz?
Wenn beide in derselben TNF, sind beide zeilenäquivalent. Da es nur eine einzige TNF zu einer Matrix gibt (in anderer Karteikarte hier gezeigt), komme ich bei beiden mit endlich vielen Es, Es-1 …E2,E1 bei der selben TNF hinaus (was indirekt die Definition für Zeilenäquivalenz ist.)
