Vektorräume Flashcards
(15 cards)
Wie funktioniert die Vektoraddition?
Mit dem Parallelogramm-Gesetz. Die Summe der Vektoren u und v ist die Diagonale, die durch das Parallelogramm geht, was u und v bilden.
Wie funktioniert die Skalarmultiplikation?
Man multipliziert ein Skalar r mit einem Vektor u. Die Richtung des Vektors bleibt gleich, wenn r>0, und sie wird entgegengesetzt, wenn r<0
Wie stellt man einen Punkt mit 2 Achsen dar?
(a)
(b) , in einer Klamer, also als Vektor
Was ist der Bezugspunkt O?
Der Koordinatenursprung 0
Sei K eine Körper, und V der K-Vektorraum. Zeige die Schritte, wie man prüft, ob ein Vektorraum vorliegt.
Ein vektorraum liegt vor, wenn …
- gilt die Verknüpfung + : V × V → V, (v, w) → v + w für alle v, w ∈ V
was meint: liegt das Ergebnis zweier Vektoren von V wieder in V? - gilt die Abbildung · : K × V → V, (a, v) → a · v, für alle a ∈ K und alle v ∈ V
was meint: ein Skalar aus K wird mit einem Vektor aus V multipliziert, und raus kommt ein Vektor der wieder in V liegt? - gelten folgende Axiome der Vektoraddition:
- kommutativ: Gilt v1+v2 = v2+v1 ?
- assoziativ: ist v1+(v2+v3) = (v1+v2)+v3 ?
- gibt es das neutrale Element 0, sodass 0+v = v+0 = v ?
- ist es invertierbar, also gibt es zu jedem v ∈ V ein v′ ∈ V (invers) , so dass v + v′ = v′ + v = 0 ist. - gelten folgende Axiome der Skalarmultiplikation:
- assoziativ: gilt für alle a, b ∈ K und alle v ∈ V
(ab) · v = a · (bv) ?
- gibt es das neutrale Element 1, sodass für alle v gilt:
1 · v = v ? - gilt das Distributivgesetz jeweils für Elemente aus K und aus V?
Für alle a, b ∈ K und v1, v2 ∈ V gilt:
a · (v1 + v2) = a · v1 + a · v2, und
(a + b) · v1 = a · v1 + b · v1.
Welchen Types sind die Elemente in V und in K?
In V sind die Elemente Vektoren und in K Skalare, da K ja nur ein Körper und kein Vektorraum ist
Was ist das zu av in V inverse Element?
(-a)v und a(-v), da beide null ergeben.
(−a)v + av = (−a + a)v = 0v = 0 mit zweitem Distributivgesetz
a(−v) + av = a(−v + v) = a0 = 0 mit erstem Distributivgesetz
Siehe Frage 6
Sei K ein Körper, und sei n ∈ N. Was ist K^n?
Mit K^n bezeichnet man die Anzahl der Elemente in einem Vektor.
Es gelten Addition und Skalarmultiplikation.
Deshalb ist K^n ein Vektorraum über K.
Sei A ∈ Mmn(K), und sei U die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems Ax = 0 über K. Zeige, dass U ein Vektorraum über K ist.
- Zuerst beweisen, dass + eine Verknüpfung auf U ist.
Seien λ, λ′ ∈ U Lösungen von Ax = 0. Dann gilt
A(λ + λ′) = Aλ + Aλ′ = 0 + 0 = 0, und wir sehen, dass auch λ + λ′eine Lösung von Ax = 0 ist. Somit ist + eine
Verknüpfung auf U.
- Dann beweisen wir die Abbildung.
Sei λ eine Lösung von Ax = 0, und sei a ∈ K. Dann gilt A(aλ) = a(Aλ) = a0 = 0, also ist auch aλ eine Lösung von Ax = 0. Es folgt, dass · : K × U → U
(a, λ) → aλ
eine Abbildung von K × U nach U ist
Dann die Rechenregeln
- da die Addition in K^n assoziativ und kommutativ ist, folgt, dass auch die Addition in U assoziativ und kommutativ ist. Auch der Nullvektor in K^n
liegt in U und bildet das neutrale Element der
Addition in U. Mit λ ∈ U ist auch −λ ∈ U. Somit ist jedes λ ∈ U invertierbar. Es gelten also die Axiome der Addition. - da die Elemente aus U Elemente in K^n
sind, folgt, dass die Axiome der Skalarmultiplikation und die Distributivgesetze gelten.
Somit ist U ein K-Vektorraum.
Was ist ein Nullpolynom?
Alle Koeffizienten a0…an sind 0
Was bedeutet K[T] ? Anstatt Klammern gerade Striche wie bei Betrag
Die Menge aller Polynome über K
Wofür steht Grad(p)?
Die Potenz eines Polynomes.
P ist ein Polynom in K[T], also p = Summe aiTi, aber nicht das Nullpolynom
m ist der Index in a0…am, und so ist m auch die höchste Potenz von T, die in p vorkommt.
m ist der Grad von p und wir schreiben Grad(p)=m
Ist p=0, also das Nullpolynom, ist Grad(p)= minus unendlich
Welche Unterräume hat ein Vektorraum V immer?
U = V und U = {0} das echte U, kein geschwungenes.
Was ist ein Unterraum?
Nenne die 3 Unterraumkriterien.
Eine Teilmenge U eines V mit der Bedingung: U bildet mit der Addition und Skalarmultiplikation in V einen Vektorraum, heißt, in U gelten dieselben Regeln wie in V.
(a) Das Nullelement (also Nullvektor) aus V liegt in U (dem Unterraum)
(b) für alle u1, u2 ∈ U gilt u1 + u2 ∈ U - Erg muss im Unterraum selbst liegen, nicht nur in V
(c) für alle a ∈ K und alle u ∈ U gilt au ∈ U. - Erg muss im Unterraum selbst liegen, nicht nur in V
oder … V=U, also V kann ein Unterraum von sich selbst sein.
Aus Unterräumen eines Vektorraums können wir weitere Unterräume konstruieren. Wie?
Sei V ein K-Vektorraum, und seien U und W Unterräume von V .
- Dann ist U ∩W ein Unterraum von V
- U+W ist ein Unterraum von V
