Endlich erzeugte Vektorräume Flashcards
(6 cards)
Sei V ein K-Vektorraum, seien v1, . . . , vm ∈ V und
a1, …, am ∈ K.
Was ist die Linearkombination der Vektoren v1…vm
a1v1, + … + amvm = Summe aivi (oben m, unten i=1)
Was ist die lineare Hülle oder Erzeugnis von S?
Gegeben sei Beispielsweise R^3 mit den Vektoren 010 345 901. Mit Linearkombinationen (ich multipliziere also die Vektoren jeweils mit Koeffizienten und addiere die Ergebnisse) kann ich eine bestimmte Anzahl von Vektoren bilden. Die Anzahl an Vektoren ist die lineare Hülle/ das Erzeugnis. Bei 100 010 001 in R^3 wäre die lineare Hülle beispielsweise ganz R^3
wird mit <> bezeichnet (Klammern flacher)
Wann ist (S) ein Unterraum von V?
Wenn eine Teilmenge von V ist.
Der Vektorraum wird der durch S erzeugte Unterraum von V genannt.
Was heißt R^2 und R^3?
Menge der Vektoren mit 2 bzw 3 Elementen
Was ist ein Erzeugendensystem?
Wie prüfe ich auf ein Erzeugendensystem? V=R^3 und die Vektoren 112, 314, 231 (untereinander geschrieben)
Die Vektoren, aus denen ich unter Hilfenahme von Koeffizienten (also mit Linearkombination) jeden Vektor im Vektorraum nachbilden kann. Das Erzeugendensystem ist quasi der Baukasten für v. Man shreibt es, e1…en
- Wir müssen beweisen, dass es a1v1 + a1v2 +a3*v3= xyz (untereinandergeschrieben) gibt.
- Koeffizientenmatrix A erstellen und in Treppennormalform überführen.
- Hier Rang 3, und invertierbar. Ist ein Matrix invertierbar, hat sie die Lösung 0 - Da invertierbar, ist a1 a2 a3 = A^-1 * xyz
Für alle xyz gibt es also a1 a2 a3
Sei V ein K-Vektorraum. Wann heißt V endlich erzeugt?
wenn es eine endliche Menge {v1, . . . , vm} von Vektoren in V gibt, so dass V = (v1…vm) ist. zweiteres in leicht eckigen Klammern.
wenn ein Vektorraum V ein Erzeugendensystem {e1, …, en} aus endlich vielen Elementen besitzt
