Distribuições Flashcards
(133 cards)
1
Q
A Distribuição de Bernoulli é uma análise de uma:
A
variável aleatória discreta específica.
2
Q
Variável aleatória é sempre uma variável ____________ aleatória, onde sempre temos a sorte (o acaso) modificando o _________.
A
Variável aleatória é sempre uma variável quantitativa aleatória, onde sempre temos a sorte (o acaso) modificando o resultado.
3
Q
A Distribuição de Bernoulli é uma análise de uma variável aleatória discreta específica onde existem quantas possibilidades?
A
Duas.
ou seja, as única resposta que se obtém com a distribuição de bernoulli é o sim e o não
4
Q
A Distribuição de Bernoulli é sempre uma pesquisa:
A
dual (de dois resultados).
5
Q
Se o resultado da Distribuição de Bernoulli for SIM, conclui-se que a pesquisa obteve:
A
sucesso.
6
Q
Se o resultado da Distribuição de Bernoulli for NÃO, conclui-se que a pesquisa obteve:
A
fracasso.
7
Q
CERTO OU ERRADO:
A Distribuição de Bernoulli não é uma variável quantitativa, haja vista que o seu intuito é apenas obter a resposta SIM ou NÃO.
A
ERRADO! Ela TODA variável aleatória é quantitativa!! Ela é transformada em quantitativa após as respostas de SIM ou NÃO.
8
Q
CERTO OU ERRADO:
Na estatística, sempre que possível, o melhor é converter a pesquisa qualitativa em quantitativa.
A
CERTO!
9
Q
Para transformar a Distribuição de Bernoulli em variável quantitativa, sempre que a resposta for SIM (sucesso), ela tem o valor (?) e quando a resposta for NÃO (fracasso), tem o valor (?).
A
Para transformar a Distribuição de Bernoulli em variável quantitativa, sempre que a resposta for SIM (sucesso), ela tem o valor um e quando a resposta for NÃO (fracasso), tem o valor zero.
10
Q
Dicotomia significa:
A
dualidade, dois caminhos, duas hipóteses.
11
Q
Toda e qualquer pesquisa em que só existem dois resultados: sim ou não, acertou ou errou, gosta ou não gosta, aprovado ou reprovado e etc., dizemos que seguirá uma:
A
Distribuição de Bernoulli (ou ensaio de Bernoulli).
12
Q
O objetivo da Distribuição de Bernoulli é:
A
calcular a proporção, o percentual da distribuição
13
Q
PARA FIXAR
Ter sucesso no mundo estatístico não quer dizer que necessariamente é coisa boa.
Por ex: Em uma revenda de carros, a probabilidade de um carro ter defeitos é de 20%.
O sucesso (SIM), nesse caso, é o defeito.
A
14
Q
Em uma revendedora de carros, a probabilidade de um carro apresentar defeito é de 20%.
Faça a Distribuição de Bernoulli.
A
Nesse caso, apresentar defeito é o SIM.
É só isso a distribuição de bernoulli.
X é a probabilidade
1 é o SIM ou p
2 é o NÃO ou q
15
Q
Um praticante de tiro tem probabilidade de 60% de acertar um tiro.
Faça a Distribuição de Bernoulli.
A
É só isso a distribuição de bernoulli.
X é a probabilidade
1 é o SIM ou p
2 é o NÃO ou q
16
Q
Na Distribuição de Bernoulli, o sucesso (SIM) é representado por:
A
p
17
Q
Na Distribuição de Bernoulli, o fracasso (NÃO) é representado por:
A
q
18
Q
Na Distribuição de Bernoulli, a ESPERANÇA é igual a:
A
p (SIM).
19
Q
Na Distribuição de Bernoulli, a VARIÂNCIA é igual ao cálculo de:
A
p x q (SIM x NÃO).
20
Q
Um praticante de tiro tem probabilidade de 60% de acertar um tiro.
Informe o valor da esperança e da variância na Distribuição de Bernoulli.
A
Esperança = E(x) = p = 0,6 ou 60%
Variância = VAR(x) = p x q = 0,6 x 0,4 = 0,24 ou 24%
21
Q
A Distribuição Binomial é uma:
A
repetição da Distribuição de Bernoulli.
é uma análise de uma amostra da distribuição de bernoulli
22
Q
CERTO OU ERRADO:
A Distribuição de Bernoulli é uma análise global.
A
CERTO!
23
Q
A Distribuição Binomial é uma _______ da ___________ __ _________.
A
A Distribuição Binominal é uma amostra da Distribuição de Bernoulli.
24
Q
Existem dois parâmetros fundamentais na Distribuição Binomial:
A
- Número de elementos da amostra (n)
- probabilidade do sucesso (p)
não deveria ser três, por causa da probabilidade do fracasso? Não! Sabendo a probabilidade do sucesso, sabemos a do fracasso
25
Parâmetros são as informações _______ que devemos _________ para que consigamos fazer uma _______.
Parâmetros são as informações mínima que devemos conhecer para que consigamos fazer uma análise.
26
O que quer dizer a expressão abaixo:
b (n ; p)
b(n ; p)
b = distribuição binomial
n = número de elementos
p = probabilidade do sucesso
27
**DICA DE PROVA**
Se em alguma questão de prova vier a seguinte expressão "b (400 ; 0,05)", o que pode concluir?
Que se trata de uma distribuição binomial com 400 elementos e 0,05 de probabilidade de sucesso.
28
A esperança da distribuição binomial é determinado pela expressão:
n x p
*n° de elementos **x** probabilidade de sucesso*
29
O concurseiro Tiago Victor acerta historicamente 90% das questões. Em 2024, fará uma prova para ser Auditor Fiscal da Prefeitura de João Pessoa com 150 questões.
Qual a esperança de acerto de questões para Tiago Victor?
O primeiro dado se trata de uma distribuição de bernoulli, porque entre acertar e errar questões só tem duas opções. Quando ele fala em 150 questões, se trata de uma distribuição binomial pois ele quer uma análise dentro da distribuição de bernoulli.
A esperança é dada por:
número de elementos x probabilidade de sucesso
E(x) = 150 x 0,9 = **135**
30
Um praticante de tiros tem probabilidade de acertar 80% dos tiros. Atirando 20 vezes, qual a esperança?
O primeiro dado se trata de uma distribuição de bernoulli, porque entre acertar e errar o tiro só tem duas opções. Quando ele fala em 20 tiros, passa a ser uma distribuição binomial.
E(x) = 20 x 0,8 = **16**
31
A variância da distribuição binomial é dada pela expressão:
Var(x) = n x p x q
*leia-se: número de elementos x probabilidade de sucesso x probabilidade de fracasso*
32
Um praticante de tiros tem probabilidade de acertar 80% dos tiros. Atirando 20 vezes, qual a variância?
A variância é dada por: Var(x) = n x p x q
Var(x) = 20 x 0,2 x 0,8 = **3,2 tiros²**
*a variância SEMPRE tem unidade ao quadrado*
33
O concurseiro Tiago Victor acerta historicamente 90% das questões. Em 2024, fará uma prova para ser Auditor Fiscal da Prefeitura de João Pessoa com 150 questões.
Qual a variância?
Como se trata de uma distribuição binomial, a variância é Var(x) = n x p x q
Var(x) = 150 x 0,9 x 0,1 = **13,5 questões²**
*a variância SEMPRE tem unidade ao quadrado*
34
Na distribuição de Bernoulli, quais os parâmetros?
Só tem uma: p (probabilidade de sucesso).
35
CERTO OU ERRADO:
As distribuições de Bernoulli apresentam as mesmas características e o mesmo parâmetro.
ERRADO! Apresentam as mesmas características mas não o mesmo parâmetro.
36
CERTO OU ERRADO:
Repetições independentes do ensaio de Bernoulli, com a mesma probabilidade de ocorrência de sucesso, dão origem ao ao modelo Binomial.
CERTO!
37
O Teorema do Limite Central garante que quando o tamanho da amostra aumenta, a distribuição amostral da sua ______ aproxima-se cada vez mais de uma ____________ ______.
O Teorema do Limite Central garante que quando o tamanho da amostra aumenta, a distribuição amostral da sua média aproxima-se cada vez mais de uma distribuição normal.
38
Quando um pesquisador vai a campo e aborda as pessoas na rua para serem entrevistadas, o número de pessoas que aceita responder à pesquisa segue uma distribuição binomial.
Se o valor esperado dessa distribuição é 8 e a variância é 1,6, qual a probabilidade de a pessoa aceitar responder à pergunta.
E(x) = 8
E(x) = n x p (ou seja, n x p = 8)
Var(x) = n x p x q
1,6 = 8 x q
1,6 ÷ 8 = q
q = 0,2 (probabilidade de fracasso)
Probabilidade (x)
1 = 0,8
0 = 0,2
**Resposta: 0,8**
39
Qual a fórmula de distribuição binomial para quantidades específicas de sucesso?
Leia-se: Probabilidade de X = k (n° de sucessos) = Combinação de n e k vezes p elevado a k vezes q elevado a n menos k
*quantidades específicas de sucesso seria por exemplo: um rapaz tem 70% de acertar um chute na trave. se ele chutar 7 vezes, qual a chance de ele acertar 3?*
40
Um jogador tem tido aproveitamento de 80% dos pênaltis batidos. Em uma série de 5 chutes, qual a probabilidade de ele acertar apenas 2.
*observe que ali na porcentagem, em vez de 80% ele usou 8/10 que no final dá o mesmo resultado*
41
Ao arremessar uma moeda 8 vezes, qual a probabilidade de sair exatamente 5 caras?
*nessas porcentagens elevadas a números grandes, sempre tentar simplificar como ele fez ali no 1/2*
42
Considere que numa família, a chance de nascer um bebê menino é de 30 % e a chance de nascer uma menina é 70%. Nesta família o casal tem 3 filhos, uma menina e dois meninos.
Qual a probabilidade dessa configuração familiar acima?
43
Considere um experimento aleatório que consiste em contar o número de sucessos k em um total de n repetições de eventos Bernoulli. Se a probabilidade de resultar sucesso em uma repetição qualquer é p = 0.2, qual a probabilidade de se obter dois sucessos em quatro repetições do experimento?
44
Um candidato resolveu contar com a sorte, ele respondeu aleatoriamente as cinco questões de raciocínio lógico dessa prova, compostas de cinco opções com uma única opção correta cada.
Qual a probabilidade de acertar exatamente duas questões?
45
A Distribuição Geométrica entende-se como a variável que corresponde ao ______ __ _______ até o _______ _______.
A Distribuição Geométrica entende-se como a variável que corresponde ao número de ensaios até o primeiro sucesso.
*ensaio = tentativas = repetições*
45
A Distribuição Geométrica deriva da:
Distribuição de Bernoulli
46
**PARA FIXAR**
DISTRIBUIÇÃO GEOMÉTRICA
P(X = k) equivale à probabilidade de se obter, nesta ordem k-1 fracassos e na, k-ésima tentativa, 1 sucesso. (k-1 fracassos quer dizer que das k tentativas, uma vai ser sucesso, por ex: obtenho um sucesso na 5ª tentativa. Portanto, k-1 será igual a 4, errarei quatro vezes para acertar uma.
Exemplo: Suponha que jogarei 3 vezes uma moeda pra cima com a intenção de obter cara. Na primeira dá coroa, a segunda coroa e a terceira cara (sucesso). Portanto, P(X = 3). Então calcularei a probabilidade de sair sucesso na terceira tentativa. Ou seja, os dois primeiros será fracasso.
O X só pode ser natural positivo, obviamente.
47
Qual a fórmula da distribuição geométrica?
k = qnt. de tentativas para o sucesso
q = probabilidade de fracasso
p = probabilidade de sucesso
k-1 = número de fracassos até o primeiro sucesso
48
Suponho que numa moeda viciada, a probabilidade de sair a face cara seja 20%.
Qual a probabilidade de obtermos a primeira face cara apenas no quarto lançamento?
49
Suponho que num dado viciado, a probabilidade de sair a face 4 seja 10%.
Qual a probabilidade, após vários lançamentos, de obtermos a primeira face 4 apenas no quinto lançamento?
50
A esperança da distribuição geométrica se dá pela formula:
51
A variância da distribuição geométrica se dá pela formula:
52
A probabilidade de cair cara em um lançamento de moeda é 50%.
Qual a esperança e a variável da distribuição geométrica?
E(X) = 1 ÷ p
E(X) = 1 ÷ 0,5
**E(X) = 2**
Var(X) = q ÷ p²
Var(X) = 0,5 ÷ 0,5²
Var(X) = 0,5 ÷ 0,25
**Var(X) = 2 lançamentos²**
*a variância é sempre ao quadrado*
53
Numa moeda viciada, a probabilidade de sair cara é de 20%.
Qual a esperança e variância da distribuição geométrica?
E(X) = 1 ÷ p
E(X) = 1 ÷ 0,2
**E(X) = 5**
Var(X) = q ÷ p²
Var(X) = 0,8 ÷ 0,2²
Var(X) = 0,8 ÷ 0,04
**Var(X) = 20 lançamentos²**
54
Parametrização é:
é uma forma de análise de uma variável. Você pode usar a parametrização X (número de sucessos) ou Y (número de fracassos) ou vice-versa.
55
**PARA FIXAR**
Ao contrário de X, na parametrização de Y ela pode assumir o valor 0.
X tem que ser pelo menos um, que é o número de tentativas até o sucesso. Ou seja, pode ser uma tentativa e um sucesso.
Y pode ser 0 porque seria o número de fracassos. Então, se caso ocorra sucesso na primeira tentativa, Y é zero.
Se a parametrização for do valor de X, começasse pelo valor 1.
Se a parametrização for do valor de Y, começasse pelo valor 0.
56
Joga-se uma moeda para cima com a intenção de tirar cara. O sucesso veio na terceira tentativa.
Qual o valor de X e Y?
X = 3 (n° de tentativas até o sucesso)
Y = 2 (n° de fracassos)
57
A distribuição geométrica com a **parametrização de Y** se dá pela formula:
*ou seja, é a mesma coisa da parametrização de X só que sem o -1*
58
A esperança da distribuição geométrica com a **parametrização de Y** se dá pela formula:
*parecida com a parametrização de X, só muda o 1 por q*
59
A variância da distribuição geométrica com a **parametrização de Y** se dá pela formula:
*mesma coisa que a variância com a parametrização de X*
60
**NÃO CONFUNDIR**
A esperança e a variância de X e Y podem ser quebradas (ex: 1,20). O que precisa ser número redondo é o valor de X e Y.
61
Sejam a probabilidade de um atirador acertar o alvo igual a 80%. Sejam as variáveis aleatórias X igual ao número de tentativas para o sucesso e Y o número de fracassos.
Qual o valor da distribuição geométrica de X e sua respectiva esperança e variância se o atirador acertar o alvo na 3ª tentativa?
**VALORES DE X**
P(X) = probabilidade de fracasso elevado a k-1 vezes p (não dá pra fazer a fórmula)
P(X) = 0,8² x 0,2
P(X) = 0,64 x 0,2
**P(X) = 0,128 ou 12,8%**
E(X) = 1 ÷ p
E(X) = 1 ÷ 0,8
**E(X) = 1,25*
Var(X) = p ÷ q²
Var(X) = 0,2 ÷ 0,8²
**Var(X) = 0,3125 tiros² ou 31,25% tiros²**
62
Sejam a probabilidade de um atirador acertar o alvo igual a 80%. Sejam as variáveis aleatórias X igual ao número de tentativas para o sucesso e Y o número de fracassos.
Qual o valor da distribuição geométrica com a parametrização de Y e sua respectiva esperança e variância se o atirador acertar o alvo na 3ª tentativa?
**VALORES DE Y**
P(Y) = probabilidade de fracasso elevado a k vezes p (não dá pra fazer a fórmula)
P(Y) = 0,8³ x 0,2
P(Y) = 0,512 x 0,2
**P(Y) = 0,1024 ou 10,24%**
E(Y) = q ÷ p
E(Y) = 0,2 ÷ 0,8
**E(Y) = 0,25**
Var(Y) = p ÷ q²
Var(Y) = 0,2 ÷ 0,8²
**Var(Y) = 0,3125 tiros² ou 31,25% tiros²**
63
Sabe-se que a distribuição geométrica pode ser interpretada como uma sequência de ensaios de Bernoulli, independentes, até a ocorrência do primeiro sucesso.
Qual a média e a variância, respectivamente, de uma distribuição geométrica cujo parâmetro é p = 0,64 e tendo como parametrização o número de ensaios de Bernoulli até se obter um sucesso?
64
Abel tem uma moeda que dá “cara” com probabilidade 1/2 e Breno tem uma moeda que dá “cara” com probabilidade 1/3.
Abel e Breno lançam suas respectivas moedas, alternadamente. O primeiro que obtiver “cara”, ganha. Abel é o primeiro a lançar, e os lançamentos são todos independentes.
A probabilidade de Abel ganhar no seu terceiro lançamento é de
65
Considere que Y seja uma variável aleatória geométrica que representa o número de erros cometidos por um atendente no preenchimento de formulários e que a função de probabilidade de Y seja definida por P(Y = k) = 0,9 × (0,1)k (elevado a k) , em que k = 0, 1, 2, ...
Qual o desvio padrão da variável Y?
66
Considere que Y seja uma variável aleatória geométrica que representa o número de erros cometidos por um atendente no preenchimento de formulários e que a função de probabilidade de Y seja definida por P(Y = k) = 0,9 × (0,1)k , em que k = 0, 1, 2, ...
Qual o desvio padrão da variável Y?
67
CERTO OU ERRADO:
É igual a ¾ a probabilidade de determinado advogado conseguir decisão favorável a si em cada petição protocolada por ele na vara cível de certo tribunal. O plano desse advogado é protocolar, sequencialmente, 12 petições nessa vara cível durante o ano de 2020. Favoráveis ou não, as decisões do tribunal para petições são emitidas na mesma ordem cronológica em que são protocoladas e são sempre independentes entre si. A partir dessa situação hipotética, julgue o próximo item, considerando as variáveis aleatórias X e Y, em que X = quantidade de decisões emitidas pelo tribunal até que ocorra a primeira decisão não favorável ao advogado, e Y = quantidade de decisões emitidas pelo tribunal favoráveis ao advogado.
Espera-se que a primeira decisão desfavorável ao advogado ocorra somente depois de, pelo menos, quatro decisões favoráveis a ele.
Perceba que ele fala **ESPERA-SE**, então é a esperança.
68
A distribuição hipergeométrica é quando se trabalha com uma população que é:
dividida em duas partes.
*uma parte é sucesso e a outra é fracasso*
69
A distribuição hipergeométrica é faz parte do:
ensaio de Bernoulli.
70
A principal característica da distribuição hipergeométrica é que:
nela não há reposição do elementos já retirados.
71
Na distribuição hipergeométrica a população **não pode** ser:
infinita.
72
Dentro da distribuição hipergeométrica é necessário saber:
N = tamanho da população
n = tamanho da amostra
S = números de sucesso dentro da população
73
O que busca com a distribuição hipergeométrica é o número de ________ obtidos dentro da _______.
O que busca com a distribuição hipergeométrica é o número de sucessos obtidos dentro da amostra.
74
A fórmula para se chegar ao número de fracassos em uma distribuição é:
Fracassos = N - S
*leia-se tamanho da população menos sucessos*
**ÓBVIO**
75
A variável aleatória que possui uma variável hipergeométrica é:
discreta.
*só aceita números redondos*
76
**PARA FIXAR**
ENTENDENDO A DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA:
Ele dá os valores. A população é 10 (representado por N), o tamanho da amostra que se quer é 3 (representado por n) e o número de sucessos é 4 (representado por S).
À direita são as possibilidades uma amostra de três elementos. As possibilidade são:
- fracasso, fracasso, fracasso
- fracasso, fracasso, sucesso
- fracasso, sucesso, sucesso
- sucesso, sucesso, sucesso
Na distribuição geométrica, só queremos o número de sucessos, por isso do lado das amostras está o valor de x, que é o número de sucessos da amostra.
77
Dentro da distribuição geométrica o valor de x é:
o número de sucessos dentro da amostra.
78
Quando se pega uma amostra, se houver reposição ou se a população for infinita, se considera que os elementos são:
independentes entre si.
79
Quando se pega uma amostra, se houver sem reposição ou se a população for finita, se considera que os elementos são:
dependentes.
80
A probabilidade de sucessos em uma amostra (distribuição hipergeométrica) é dada pela fórmula:
*nota-se que a fórmula não é dividido e sim combinação*
81
Suponha que haja N = 10 peças, no total, das quais S = 4 peças defeituosas. Se retirarmos n = 3 peças, qual a probabilidade de encontrar k = 2 defeituosas?
82
Suponha que haja N = 10 peças, no total, das quais S = 4 peças defeituosas. Se retirarmos n = 3 peças, qual a probabilidade de encontrar k = 2 defeituosas?
**MODO MAIS FÁCIL DO QUE DECORAR AQUELA FÓRMULA ENORME*
83
O limite superior de sucessos de uma variável hipergeométrica é o:
menor valor entre número de elementos da amostra e o número de sucessos.
*ou seja, amostra menos fracasso, que se chega ao número máximo de sucessos*
84
O limite superior de sucessos de uma variável hipergeométrica é o:
85
CERTO OU ERRADO:
O número máximo de sucessos de uma variável hipergeométrica é sempre o número de sucessos dado.
ERRADO! Exemplo: O número da população (N) é 10, o número de sucessos (S) é 7 e a amostra (n) é 3. Então o número máximo de sucessos será 3.
86
O limite superior de sucessos da variável hipergeométrica se limita ao número da:
amostra.
*não tem como o limite superior do sucesso ser maior que a amostra*
87
O limite inferior de sucessos de uma variável hipergeométrica é o:
máximo entre 0 e a diferença número de elementos da amostra menos o número de fracassos na amostra (ou seja, n-F)
88
Suponha que se tenha N=10, S=7 e n=5, qual o limite inferior de sucessos possíveis da variável hipergeométrica na amostra?
A amostra é 5 e o número de fracassos é 3. Então o limite inferior é 2.
89
A esperança da distribuição hipergeométrica é obtida através da fórmula:
E(X) = n ⋅ p
*p = S ÷ N*
90
Suponha que se tenha N=10, S=4 e n=3, qual a esperança dessa variável hipergeométrica?
E(X) = n ⋅ p
p = S ÷ N = 3 ÷ 10 = 0,3
E(X) = 4 x 0,3 = 1,2
91
A variância da distribuição geométrica é obtida através da fórmula:
92
Suponha que se tenha os valores N=10, S=4 e n=3, qual a variância dessa variável hipergeométrica?
93
Suponha que se tenha os valores N=12, S=5 e n=3, qual a esperança dessa variável hipergeométrica?
94
Suponha que se tenha os valores N=12, S=5 e n=3, qual a variância dessa variável hipergeométrica?
95
Suponha que o número de processos trabalhistas que chegam, por dia, a um determinado tribunal regional do trabalho seja uma variável aleatória com distribuição de Poisson com média igual a λ. Sabe-se que a probabilidade de chegarem 2 processos por dia é igual a oito vezes a probabilidade de não chegar nenhum. Nessas condições, qual a probabilidade de, em um determinado dia, chegarem pelo menos 2 processos?
Dados:
e⁻² = 0,135
e⁻⁴ = 0,018
96
O nome do símbolo λ é:
lambda.
97
A distribuição de Poisson é uma variável aleatória:
discreta.
98
Podemos considerar uma indústria farmacêutica que apresenta defeito em p=0,01% dos medicamentos e que a amostra a ser verificada contém n = 4 mil medicamentos. Nessa situação, o cálculo da função de probabilidade pela distribuição binomial é praticamente impossível.
Nesses casos, em que 𝒏 é muito grande (𝒏 → ∞) e 𝒑 é muito pequeno (𝒑 → 𝟎) utilizamos a sua aproximação à:
distribuição de Poisson
99
Sabemos que a média da distribuição binomial é igual a 𝐸(𝑋𝐵) = 𝑛. 𝑝.
Na distribuição de Poisson, chamamos essa média de:
𝝀 (lambda) = n x p.
*ou seja, lambda é a média da distribuição binomial*
100
Considerando uma indústria farmacêutica que apresenta defeito em p=0,01% dos medicamentos e que a amostra a ser verificada contém n = 4 mil medicamentos, qual o valor da de 𝝀 na distribuição binomial?
𝝀 = média da distribuição binomial
𝝀 = n x p
𝝀 = 4000 x 0,001
𝝀 = 0,4
101
A esperança (ou média) da distribuição de Poisson é:
E(X) = 𝝀
102
A variância da distribuição de Poisson é:
V(X) = 𝝀 ou V(X) = n x p
*𝝀 = n x p*
103
Os pressupostos da distribuição de Poisson são dois:
i) Homogeneidade, ou seja, a taxa 𝜆 deve ser constante (assim como a probabilidade de sucesso 𝑝 é constante para a distribuição binomial); e
ii) Independência das ocorrências em um intervalo, em relação
104
Aproximação da Distribuição Binomial para 𝑛 → ∞ e 𝑝 → 0 é igual a:
𝑷(𝑿 = 𝒌) = (𝒆−𝝀 .𝝀𝒌) ÷ 𝒌!
Esperança: 𝐸(𝑋) = 𝝀;
Variância: 𝑉(𝑋) = 𝝀
105
A distribuição de Poisson é uma distribuição ________ de probabilidade que fornece a frequência de ocorrência de certos tipos de _______ __________, podendo ser usada como aproximação da ____________ ________.
A distribuição de Poisson é uma distribuição discreta de probabilidade que fornece a frequência de ocorrência de certos tipos de eventos aleatórios, podendo ser usada como aproximação da distribuição binomial.
106
A distribuição de Poisson é utilizada como aproximação da distribuição binomial para amostras _______ (n) e probabilidade _______ (p), tal que o produto n.p, isto é, a esperança da distribuição, é um valor ______.
A distribuição de Poisson é utilizada como aproximação da distribuição binomial para amostras grandes (n) e probabilidade pequenas (p), tal que o produto n.p, isto é, a esperança da distribuição, é um valor finito.
107
CERTO OU ERRADO:
A quantidade diária de emails indesejados recebidos por um atendente é uma variável aleatória X que segue distribuição de Poisson com média e variância desconhecidas. Para estimá-las, retirou-se dessa distribuição uma amostra aleatória simples de tamanho quatro, cujos valores observados foram 10, 4, 2 e 4. Com relação a essa situação hipotética, julgue o seguinte item.
Se P (X = 0) representa a probabilidade de esse atendente não receber emails indesejados em determinado dia, estima-se que tal probabilidade seja nula.
108
Assim como para a distribuição binomial, o valor de X = k, varia entre:
0 (zero) e o tamanho da amostra 𝑛 → ∞.
109
O que significa a expressão abaixo?
𝑋~𝑃𝑜(𝜆).
Distribuição de Poisson.
110
𝜆 é a média de ________ em um determinado _________ __________.
𝜆 é a média de sucessos em um determinado intervalo específico.
111
É possível somar variáveis com distribuição de Poisson?
SIM! Sendo 𝜆𝑋 o parâmetro da distribuição da variável X e 𝜆𝑌 o parâmetro da distribuição da variável 𝑌, então a variável 𝑆 = 𝑋 + 𝑌 terá
distribuição de Poisson com parâmetro:
𝜆𝑆 = 𝜆𝑋 +𝜆𝑌
112
**EXEMPLO DE SOMA DE VARIÁVEIS COM DISTRIUIÇÃO DE POISSON**
Suponha que a empresa X receba 𝜆 = 5 novos clientes por mês e que a empresa 𝑌 receba 𝜆𝑌 = 3 novos clientes por mês, de modo que ambos sigam distribuições de Poisson. Se a empresa X se juntar com a empresa Y, formando a empresa S, então, se as taxas de novos clientes permanecerem as mesmas, a nova empresa receberá a seguinte taxa de novos clientes por mês, que também seguirá uma distribuição de Poisson:
𝜆s = 𝜆x +𝜆y = 5 + 3 =8
113
É possível multiplicar variáveis com distribuição de Poisson?
SIM!
114
**EXEMPLO DE MULTIPLICAÇÃO DE VARIÁVEIS COM DISTRIBUIÇÃO DE POISSON**:
Suponha que a empresa X receba 𝜆 = 5 novos clientes por mês e que a empresa 𝑌 receba 𝜆𝑌 = 3 novos clientes por mês, de modo que ambos sigam distribuições de Poisson. Se a empresa X se juntar com a empresa Y, formando a empresa S, então, se as taxas de novos clientes permanecerem as mesmas, a nova empresa receberá a seguinte taxa de novos clientes por mês, que também seguirá uma distribuição de Poisson:
𝜆s = 𝜆x +𝜆y = 5 + 3 =8
Havendo uma empresa Z que receba 𝜆𝑍 = 10 novos clientes por mês, cuja metade se juntará às demais empresas, então a nova empresa N formada receberá a seguinte taxa de novos clientes por mês, que também seguirá uma distribuição de Poisson:
𝜆s = 𝜆x + 𝜆y + 0,5. 𝜆z = 5 + 3 + 0,5 × 10 = 13
115
O parâmetro da distribuição de Poisson é a:
sua média (esperança): 𝐸(𝑋) = 𝜆.
116
É possível somar as esperanças de duas ou mais variáveis com distribuição de Poisson?
SIM! 𝐸(𝑋 + 𝑌) = 𝐸(𝑋) + 𝐸(𝑌) → 𝜆x+y = 𝜆x + 𝜆y
117
É possível multiplicar as esperanças de duas ou mais variáveis com distribuição de Poisson?
SIM! 𝐸 (𝑘.𝑋) = 𝑘.𝐸(𝑋) → 𝜆𝑘.𝑋 = 𝑘. 𝜆𝑋
118
A distribuição binomial negativa (também chamada de ____________ __ ______) estuda o número de _______ __ _________ necessários para se obter _ _______, com _ sendo ____.
A distribuição binomial negativa (também chamada de distribuição de Pascal) estuda o número de ensaios de Bernoulli necessários para se obter k sucessos, com k sendo fixo.
*é o contrário da distribuição binomial*
119
**PARA FIXAR**
Há uma diferença sutil nessa definição, em relação à distribuição binomial (original). Enquanto a binomial (original) estuda o número de sucessos (𝑋 = 𝑘) obtidos a partir de 𝒏 ensaios de Bernoulli, com 𝒏 fixo; a binomial negativa estuda o número de ensaios (𝑋 = 𝑥) necessários para se obter 𝒌 sucessos, com 𝒌 fixo.
Ex: na distribuição binomial negativa, se quer saber, por exemplo, quantos tiros serão dados até que se acerte o alvo cinco vezes.
Na distribuição binomial, se quer saber a probabilidade de acertar o alvo em cinco tiros, é ao contrário.
120
Na distribuição binomial negativa não se varia o número de:
sucessos.
121
Assim como na distribuição binomial, na distribuição binomial negativa exige que se tenha ____________ entre as tentativas.
Assim como na distribuição binomial, na distribuição binomial negativa exige que se tenha independência entre as tentativas.
122
Assim como na distribuição binomial, na distribuição binomial negativa, a população será ________ ou a extração será com _________.
Assim como na distribuição binomial, na distribuição binomial negativa, a população será infinita ou a extração será com reposição.
123
O número mínimo de tentativas na distribuição binomial negativa será, obrigatoriamente, o valor de:
k (sucessos).
*já que na binomial negativa se quer chegar exatamente ao número de sucessos. então pode ocorrer de atirar 5 vezes e acertar o alvo 5 vezes, por exemplo*
124
O valor da distribuição binomial negativa é obtida através da fórmula:
Leia-se:
k = número de sucessos (fixo)
x = n° de lançamentos
p = probabilidade de sucessos
q = probabilidade de fracassos
*perceba que ali é combinação e não divisão*
125
Realizando o lançamento de uma moeda não viciada, qual a probabilidade de se obter 5 caras em exatamente 8 lançamentos?
126
CERTO OU ERRADO:
Se, em determinada fábrica, 10% das peças produzidas são defeituosas, então, para fins de controle de qualidade, uma distribuição binomial negativa deve ser usada na situação em que é retirada uma amostra aleatória simples com reposição de 10 peças para se determinar a probabilidade de ocorrer exatamente 3 peças defeituosas nessa amostra.
ERRADO! Sabendo que será retirada uma amostra aleatória, com reposição, de n = 10 peças e que a probabilidade de defeito é p = 10%, então temos uma distribuição binomial (original).
127
Considere que em uma fábrica, 20% das peças apresentem defeito. Nessa situação, para encontrar exatamente 2 peças defeituosas, qual a probabilidade de inspecionarmos exatamente 4 peças, com reposição?
128
A esperança da distribuição binomial negativa é dada pela expressão:
E(X) = k ÷ p
129
A variância da distribuição binomial negativa é dada pela expressão:
VAR(X) = (k ⋅ q) ÷ p²
130
Em um lançamento de uma moeda não viciada, procura-se obter exatamente a quantidade de 5 caras.
Qual a esperança e a variância dessa distribuição binomial negativa?
E(X) = k ÷ p
E(X) = 5 ÷ 0,5
E(X) = 10 lançamentos
VAR(X) = (k ⋅ q) ÷ p²
VAR(X) = (5 ⋅ 0,5) ÷ 0,5²
VAR(X) = 2,5 ÷ 0,25
VAR(X) = 10 lançamentos²
131
Considere que em uma fábrica, 20% das peças apresentem defeito. Nessa situação, para encontrar exatamente 2 peças defeituosas, qual a esperança e a variância?
E(X) = k ÷ p
E(X) = 2 ÷ 0,2
E(X) = 10
VAR(X) = (k ⋅ q) ÷ p²
VAR(X) = (2 ⋅ 0,8) ÷ 0,2²
VAR(X) = 1,6 ÷ 0,04
VAR(X) = 40 peças²
132
