Parametrische Kurven Flashcards
(21 cards)
Was sind Polynome und wie werden sie in der Kurvenmodellierung verwendet?
Polynome sind mathematische Funktionen, die als f(t)= a_nt^n +a_n-1t^n-1+…+a_1*t+a_0
dargestellt werden. Sie werden zur Modellierung von Kurven verwendet, indem ihre Koeffizienten so gewählt werden, dass sie durch gegebene Stützpunkte verlaufen.
Welche Probleme treten bei Polynomen für die Kurvenmodellierung auf?
Oszillation bei großen
𝑛 (Runge-Phänomen).
Änderungen eines Stützpunkts erfordern die Neuberechnung der gesamten Kurve.
Hoher Rechenaufwand und numerische Instabilität bei hohen Graden.
Was sind Splines?
Splines sind stückweise definierte Funktionen, die aus niedrig gradigen Polynomen zusammengesetzt sind. Sie verbinden die Stützpunkte mit glatten Übergängen und vermeiden die Probleme hochgradiger Polynome.
Welche Stetigkeitsgrade gibt es bei Splines?
C^0: Die Kurve ist stetig.
C^1: Die erste Ableitung ist stetig.
C^2: Die erste und zweite Ableitung sind stetig.
Wie werden lineare Splines definiert?
Lineare Splines bestehen aus stückweisen Geraden, die zwischen Stützpunkten verlaufen. Für zwei Punkte 𝑃_𝑖 und 𝑃_𝑖+1 gilt:
S_i(t)=t_i+1 - t / t_i+1 - t_i *P_i + t-t_i/t_i+1 - t_i P_i+1
Welche Vor- und Nachteile haben lineare Splines?
Vorteile: Einfach, effizient, leicht zu berechnen.
Nachteile: „Eckige“ Übergänge, da keine Stetigkeit der Ableitungen (C^0-Stetigkeit).
Was unterscheidet quadratische Splines von linearen Splines?
Quadratische Splines nutzen Polynome zweiten Grades für stückweise glattere Übergänge. Sie sind C^1-stetig, wodurch die Ableitungen an den Stützpunkten übereinstimmen.
Welche Probleme haben quadratische Splines?
Quadratische Splines können keine Krümmungswechsel innerhalb eines Abschnitts darstellen. Krümmungswechsel sind nur an den Stützpunkten möglich.
Warum werden kubische Splines häufig verwendet?
Kubische Splines bieten sehr glatte Übergänge (C^2-Stetigkeit), wodurch die Funktion, die erste und die zweite Ableitung kontinuierlich sind. Sie sind flexibel und vermeiden Oszillationen.
Wie wird ein kubischer Spline berechnet?
Für jeden Abschnitt wird ein Polynom dritten Grades definiert:
S_i(t)=a_i t^3+b_i t^2 +c_i t +d_i
Die Koeffizienten werden durch Bedingungen zur Stetigkeit und Ableitungsstetigkeit berechnet.
Was sind Bézier-Kurven?
Bézier-Kurven sind parametrische Kurven, die durch Kontrollpunkte definiert werden. Sie bleiben in der konvexen Hülle der Kontrollpunkte und sind intuitiv modellierbar.
Wie werden Bézier-Kurven mathematisch dargestellt?
Eine Bézier-Kurve wird durch Bernsteinpolynome definiert:
B(t) = Sum_i=0^n(B_i(t)*P_i)
B_i(t)= (N über i) t^i (1-t)^n-i
Was sind Bernsteinpolynome?
Bernsteinpolynome sind die Basisfunktionen von Bézier-Kurven. Sie erfüllen die Eigenschaft:
Sum_i=0^n(B_i(t))=1 für alle t element [0,1]
Wie unterscheiden sich B-Splines von Bézier-Kurven?
B-Splines haben lokale Kontrolle: Änderungen eines Kontrollpunkts beeinflussen nur einen begrenzten Teil der Kurve. Sie sind flexibler und stabiler.
Wie wird ein B-Spline mathematisch definiert?
Ein B-Spline wird durch gewichtete Basisfunktionen N_i,k(t) definiert:
C(t)= Sum_i=0^n(N_i,k(t)*P_i)
Die Basisfunktionen hängen von einem Knotenvektor 𝑇 ab.
Welche Vorteile haben B-Splines?
- Lokalität: Änderungen beeinflussen nur 𝑘-Abschnitte.
- Keine Oszillationen.
- Stetigkeit der Ableitungen bis zur Ordnung 𝑘−2.
Was sind NURBS?
NURBS (Non-Uniform Rational B-Splines) sind eine Erweiterung der B-Splines durch Gewichtung der Kontrollpunkte. Sie ermöglichen die Darstellung von Kreisen und Ellipsen.
Wie werden NURBS mathematisch dargestellt?
Eine NURBS-Kurve wird definiert als:
R_i,k(t)= w_iN_i,k(t)/ sum_j=0^n(w_jN_j,k(t)),
C(t)=Sum_i=0^n(R_i,k(t)*p_i)
Wo werden NURBS eingesetzt?
In CAD-Systemen und industriellem Design, da sie exakte geometrische Formen wie Kreise und Ellipsen darstellen können.
Was sind Bézier-Flächen?
Bézier-Flächen sind eine Erweiterung von Bézier-Kurven in den 3D-Raum. Sie verwenden Kontrollpunkte in zwei Richtungen (Parameter 𝑢,𝑣).
Wie wird ein Punkt auf einer Bézier-Fläche berechnet?
P(u,v)=Sum_i=0^n(Sum_j=0^m(B_i^n(u)B_j^m(v)P_i,j))
