Todennäköisyyslaskenta Flashcards
(22 cards)
Stokaisitinen malli?
- satunnaisilmiöitä kuvailevia matemaattiset mallit
- stokaistinen eli satunnainen
Alkeistapaukset?
- satunnaiskokeen tulosmahdollisuudet
Otosavaruus?
- alkeistapausten joukko
- “omega” symboli
Kombinatoriikka?
- erlaisten mahdollisuuksien lukumäärien laskemista käsittelevä matematiikan osa-alue
Tuloperiaate?
- kun suoritetaan valinta k kertaa siten, että ensimmäinen valinta vodaan tehdä n1 tavalla, toinen n2 … k:s valinta nk tavalla:
n1 x n2 x n3 x … x nk
Permutaatio?
- keskinäisten järjestysten lukumäärä
n! = n x (n-1) x (n-2) x … x 1
- n! luetaan “n-kertoma” ja n > 0 ja 0! = 1
-jos jotkut alkiot keskenään samanlaisia
(n!) / (n1! x n2! x … x nk!)
Variaatio?
- järjestetty pari, kun keskinäisellä järjestksellä on väliä
- jos keskenään erilaisia alkioita on n kpl, niin niistä muodestettu k alkoita käsittävien järjestettyjen osajoukkojen lukumäärä on:
(n!) / (n -k)! II 1 < k < n
- kutsutaan myös nimellä “k-permutaatio”
Kombinaatio?
- keskinäisellä järjestyksellä ei ole merkitystä –> esim. pari AB on sama kuin BA
- k:ttain muodestettu kombinaatio
(n!) / (k! (n-k)!)
merkitään myös “n yli k:n”:
(n)
(k)
–> “binomikertoimet”
Todennäköisyyden vastatapahtuma?
- komplmenttitapahtuma
- Tapahtuman A vastatapahtuma on, että A ei esiinny
1 - A
Todennäköisyyden yhteenlaskusääntö?
- kaksi tapahtumaa, jotka ovat toisensa poissulkevia, eli eivät voi tapahtua yhtä aikaa
P (A tai B) = P (P U B) = P(A) + P(B) - P(A ja B)
Todennäköisyyden kertolaskusääntö riippumattomalle tapahtumalle?
- riippumaton, jos toisen tapahtuman tulos ei vaikuta toisen tapahtuman tulokseen
P(A ja B) = P(A) x P(B)
Ehdollisen todennäköisyyden kertolaskusääntö?
- kun toisen tapahtuman tulos vaikuttaa toisen tapahtumaan
P(B l A) –> B:n ehdollinen todennäköisyys, eli B:n todennäköisyys ehdolla A
P(B l A) = P(B ja A) / P(A)
Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava?
- liittyy tilanteisiin, joss on useita toisistaan riippuvia kokeita
P(A l Bi) = 1 - P(Bi l A)
P(Bi l A)
= P(Bi ja A) / (P(B1 ja A) + … + P(Bn ja A))
Tiheysfunktio?
- todennäköisyyksien muodostama funktio
- f(x)
- arvot vastaavat frekvenssejä
Kertymäfunktio?
- kaikille, ertiyisesti jatkuville jakaumille ei ole mielekästä ilmoittaa jokaista muuttujan arvoa vastaavaa todennäköisyyttä –> lasketaan todennäköisyyksiä, muuttujan arvo on jollakin tietyllä välillä
F(a) = P(x
Epäjatkuvat todennäköisyysjakaumat?
- Binomijakauma
- Poisson-jakauma
- molemmat antavat likimain saman tuloksen suurilla n:n ja pienillä p:n arvoilla
Binomijakauma?
- kun sama ilmilö toistuu useita kertoja
- tulosmahdollisuuksia kaksi
- A:n esiintymistodennäköisyys joka kerta sama
- toistojen tulokset toisistaan riippumattomia
Poisson-jakauma?
- sopii tilanteisiin, jossa tarkastellaan tapahtumien esiintymisiä tietyllä aikavälillä tai tietyllä alueella
- -> toistojen lukumäärä suuri ja yksittäisen tapahtuman todennäköisyys suht. pieni
- edellyttää, että tpahtuman esiintymisen todennäköisyys sama kahdella pitkällä välillä
- tapahtuman esiintyminen millä tahansa välillä on riippumaton tapahtuman esiintymisestä muilla väleillä
Jatkuvat todennäköisyysjakaumat?
- normaalijakauma
- eksponenttijakauma
Normaalijakauma?
- tärkein jatkuva todennäköisyysjakauma
- myös nimellä Gaussin jakauma –> tiheysfunktio Gaussin käyrä
- monet reaalimaailman satunnaismuuttujat noudattavat likimain normaaliakaumaa
- tiheysfunktion kuvaaja symmetrinen keskiarvon suhteen –> sijainti määräytyy odotusarvon mukaan ja muoto keskihajonnan mukaan
Eksponenttijakauma?
- tärkein jakauma tutkittaessa satunnaisvaihteluiden alaisia kestoaikoja tai tapahtumien välisiä aikoja
- kuvailemaan mm. asiakkaan viipymistä palvelupisteessä
- unohtavaisuus ominaisuus
Eksponenttijakauman unohtavaisuusominaisuus?
- muuttuja “ei muista” aikaisemmin esiintynyttä tapahtumaa
- esim. jos x kuvaa jonkin komponentin kestoikää, niin ajan x0 kestäneen komponentin jäljellä oletettavasti oleva kestoikä on sama kuin käyttämättömän komponentin
