Ungleichungen

Question 1

Ungleichungen helfen uns um eine ganzen Bereich für Lösungen anzugeben

Dabei ist zu beachten wie sich Ungleichheitszeichen bei manchen Rechenoperationen verhalten ?

Und wann es zu einer Fallunterscheidung kommt

Answer 1

Durch das beiderseitige dividieren oder multiplikatieren einer

negativen Zahl drehen sich die Ungleichheitszeichen um

so wird z.B aus < ein >

Dies hat auswirkungen auf z.B. Bruchungleichen bei denen die Umbekannte im Nenner steht wie etwa

1 / x + 1 < 2

Wir müssen hier mit * (x +1 ) multiplizieren und wissen aber nicht ob x positiv oder negativ ist daher die Fallunterscheidungen

Question 2

1 / x+2 < 2

Answer 2

1 / x+1 < 2

Da es sich um einen Bruch handelt geben wir zuerst den Definitionsbereich an D = R \ {-1}

Fall 1

x + 1 > 0

x > -1 Hier haben wir unsere zu erfüllende Bedingung

1 / x + 1 < 2 | *(x + 1)

1 < 2(x + 1) | Klammer auflösen

1 < 2x + 2 | -2

• 1 < 2x | :2
• 1/2 < x | Seite wechseln

x > -1/2

Jetzt Prüfen wir ob unsere Lösung die Bedingung erfüllt.

Da -1/2 > als -1 ist haben wir unsere erste Lösung

L₁ = {x ∈ R | x >-1/2}

2Fall

x + 1 < 0

x < -1

1 / x +1 < 2 |*(x+1) Achtung hier ist x negativ

1 > 2(x + 1) | Klammern

1 > 2x + 1 | -2

• 1 > 2x | :2
• 1/2 > x | Seiten

x < -1/2

Probe

x < -1/2 und x < -1 damit ist unser zweite Lösung

L₂ = {x ∈ R |x < -1}

Die Gesamtlösung

L=L₁ ∪ L₂ ={x ∈ R | x>-1/2 } ∪ {x ∈ R | x <-1 } =

{x ∈ R | x <- 1 oder x > -1/2}