07 Funksjoner Flashcards
funksjon
En funksjon (eng: function) fra A til B er en binær relasjon f fra A til B slik at for enhver x ∈ A, er det nøyaktig ett element y ∈ B slik at ⟨x, y⟩ ∈ f.
I dette tilfellet kaller vi x for argumentet (eng: argument) og f(x) for verdien (eng: value) til funksjonen.
Vi skriver f : A → B for funksjonen f når den er en funksjon fra A til B
definisjonsområde og verdiområde
La f være en funksjon fra A til B. Mengden A kalles definisjonsområdet (eng: domain) til f, og mengden B kalles verdiområdet (eng: codomain) til f.
identitetsfunksjonen
Hvis A er en mengde, er identitetsfunksjonen (eng: identity function) på A funksjonen idA som er slik at idA(x) = x for alle x ∈ A.
injektiv
En funksjon f : A → B er injekti (eng: injective) hvis det for alle elementer x og y i A er slik at hvis x ≠ y, så f(x) ≠ f(y). Vi sier i så fall at f er en injeksjon (eng: injection) og en-til-en (eng: one-to-one).
Injektiv betyr altså at to forskjellige elementer sendes til forskjellige elementer.
bildemengde
La f være en funksjon fra A til B, og la X være en delmengde av A. Mengden {f(x) | x ∈ X} kalles bildet (eng: image) av X under f, og skrives f[X]. Bildet av hele A under f, f[A], kalles bildemengden (eng: range) til f.
verdiområde vs. bildemengde
:-)
surjektiv
En funksjon f : A → B er surjektiv (eng: surjective) hvis det for alle y ∈ B, finnes en x ∈ A slik at f(x) = y. Vi sier i så fall at f er en surjeksjon (eng: surjection) og på (eng: onto).
En surjektiv funksjon er altså en funksjon som treffer alt i verdiområdet; det vil si at verdiområdet er identisk med bildemengden.
bijektiv
En funksjon er bijektiv (eng: bijective9 hvis den er injektiv og surjektiv. Vi sier også at funksjonen er en bijeksjon (eng: bijection) og en en-til-en korrespondanse.
sammensetning av funksjoner
Hvis f : A → B og g : B → C er funksjoner, er funksjonen
g ∘ f : A → C
definert som funksjonen vi får ved å først anvende f, deretter anvende g på verdien av dette:
(g ∘ f)(a) = g(f(a))
Denne nye funksjonen kalles sammensetningen (eng: composition) av f og g.
operasjon
En unær operasjon (eng: unary operation) på en mengde A er en funksjon fra A til A. En binær operasjon (eng: binary operation) på en mengde A er en funksjon fra A x A til A. Mer generelt, en n-ær operasjon (eng: n-ary operation) på en mengde A er en funksjon fra A^n til A.
