20 Litt abstrakt algebra Flashcards
Invers relasjon
Hvis R er en relasjon fr A til B, er den inverse relasjonen (eng: inverse relation) til R relasjonen { | E R} fra B til A. Vi skriver R^-1 for inversen til R
Invers funksjon
La f være en en-til-en korrespondanse (bijeksjon) fra mengden A til mengden B. Den inverse funksjonen (eng: inverse function) til f er funksjonen fra B til A som er slik at f^-1(b) = a hvis f(a) = b. Vi skriver f^-1 for den inverse funksjonen til f.
Kommutativ
En binær operasjon * på en mengde S er kommutativ (eng: commutative) hvis det for alle x, y E S er slik at x * y = y * x
Assosiativ
En binær operasjon * på en mengde S er assosiativ (eng: associative) hvis det for all x, y, z E S er slik at x * (y * z) = (x * y) * z
Idempotent
En unær operasjon f på en mengde S er idempotent (eng: idempotent) hvis det for alle x E S er slik at f(f(x)) = f(x). En binær operasjon * på en mengde S er idempotent (eng: idempotent) hvis det for alle x E S er slik at x * x = x.
Identitetselement
La en binær operasjon * på en mengde S være gitt. Hvis x * e = e * x = x for alle x E S, sier vi at e er et identitetselement (eng: identity element) eller et nøytralt element (eng: neutral element) for operasjonen *.
Inverse elementer
L en binær operasjon * på en mengde S v@re gitt, og anta at e er et identitetselement for *. Hvis a * a^-1 = a^-1 * a = e, sier vi at a og a^-1 er inverse (eng: inverse) elementer, og at de er inversene til hverandre.
Gruppe
La en binær operasjon • på en mengde G være gitt. Da er en gruppe (eng: group) hvis følgende betingelser, kalt gruppeaksiomene (eng: group axioms), er oppfylt:
- Operasjonen • er assosiativ
- Det finnes et identitetselement for •
- Alle elementer har en invers
Hvis vi i tillegg har at • er kommutativ, kalles gruppen abelsk (eng: abelian).
Når levde Abel?
Niels Henrik Abel (1802-1829)
