10. Skalár– és vektorfüggvények deriváltjai Flashcards
(8 cards)
Skalár– és vektormezők deriváltja mi?
• Derivált határértékes definíciója mi?
Nem szám, hanem lineáris leképezés (aminek az eredménye technikailag vektor), ami minden pontban más.
• Ha D olyan szám, amivel lim(_Δx—>0)|f(x + Δx) – f(x) – DΔx|/ |Δx| = 0, akkor f differenciálható az x pontban, és a D szám neve f’(x), ami a függvény x-beli deriváltja.
GRADIENS
- Eredménye? Mit mutat meg?
- Iránya? Nagysága?
- Másik irányba való elmozdulás?
- Kiszámítása?
- Ha Ψ és Φ szintfelületei megegyeznek?
Skalármezőkre alkalmazható differenciáloperátor. A függvények deriválásának általánosítása többváltozós függvényekre.
Skalármező diff.hatósága: Φ diff.ható r-ben, ha lim(_Δr—>0)|Φ(r + Δr) – Φ(r) – gradΦ(r)Δr| / |Δr| = 0
A gradΦ minden pontban egyértelmű (az |X| + |Y| >= |X + Y| összefüggésből kiindulva).
- Vektormező, ami azt mutatja meg, hogy hogyan változik a függvény, és megadja a skalármező legnagyobb megváltozását (irányát és nagyságát).
- Az adott ponton átmenő szintvonalakra/felületekre merőleges (ez a legnagyobb, azaz leggyorsabb változás iránya). A fv. olyan irányú deriváltjának nagysága.
- A gradiensvektor és az elmozdulásvektor skalárszorzata.
- ✨nabla-operátor✨: a három koordinátatengely menti parciális deriválás vektorkomponensekként összeírt hármasa. Műveleti utasítás, de “vektor” is, mivel egy skalármezőre hattatva abból vektort csinál. Tényleg vektor, mivel a gradiens definíciója alapján a gradiensvektor jelentése koordinátarendszertől függetlenül adott.
- Ilyen esetben Ψ(x,y,z) = f(Φ(x,y,z)) (f valami valós egyváltozós függvény). Ekkor gradΨ = f’(Φ)*gradΦ
Iránymenti derivált?
• Mit mond meg?
∂Φ/∂n = n • gradΦ(r)
• Azt, hogy egy adott r pont környékén milyen gyorsan változik a skalármező, ha az n irányba mozdulunk el.
DERIVÁLTTENZOR
- Kiszámítása?
- Miért használjuk inkább a divergenciát meg a rotációt?
Lineáris leképezés, vektormezők deriváltja, amelynek a definíciója szerint a v(r + Δr) – v(r)-t kell, hogy hozzárendelje a Δr-hez. Ha létezik egy adott pontban, akkor egyértelmű.
lim(Δr —> 0)|v(r + Δr) – v(r) – Dv(Δr)|/ |Δr| = 0, ahol Dv, mint lineáris leképezés hat a Δr vektorra.
• (Dv(r))_kl = Σ(l=1)∂v_k(r)/∂x_l = ∂(_l)v(_k). Az r(_k) helyvektor-komponens és ennek megváltozása a Δr(_k) az x,y,z koordinátákat meg azok Δx, Δy, Δz megváltozásait jelenti k = 1,2,3 esetben, és ezek a kis változások összeadódnak.
• Noha a deriválttenzor mindent tud a vektormező adott pontbani változásáról, mátrix elemei más koordinátarendszerben mások lesznek, így érdemesebb olyan mennyiségeket használni, amik magát a leképezést jellemzik.
DIVERGENCIA
Dv nyoma., vektormezőhöz skalármezőt rendel. Koordináterendszer-független mennyiség, mivel adott pontban Dv(r) is az.
div(v(r) = Σ(l=1)∂(k)v(k) = ∇v
ROTÁCIÓ
Dv antiszimmetrikus része (a deriválttenzor felbontható egy szimmetrikus és egy antiszimmetrikus részre, és mivel a transzponált koordinátarendszertől függetlenül az, ami, ezek a részek egyértelműek). Vektorszorzásként írható fel, így vektormezőhöz vektormezőt rendel. Mivel Dv(r) minden pontban koordinátarendszer-független, így rot(v(r)) is az, tehát valódi vektor.
rot(v(r)) = (∂(y)v(z) – ∂(z)v(y) = ∇ x v
∂(z)v(x) – ∂(x)v(z)
∂(x)v(y) – ∂(y)v(x))
GAUSS-TÉTEL
- Bizonyítás (ft. kis mellébeszélés)?
- Divergencia szemléletes értelme?
- Divergencia más néven?
- Alkalmazási mód? Lokális megmaradási törvények differenciális alakja?
- Erővonalak?
- Lebutítva (de szemléletesen)?
A div_v_ térfogati integrálja megegyezik a v térfogat határára vett felületi integráljával.
- Először kockára a többszörös integrálokkal, majd normális (no fraktál) alakú krumplira, amit fel lehet darabolni kis téglalapokra (amikre már bizonyítva van) meg forgácsra, de a forgács meg nullához tart.
- Ha egy V térfogatot egyre jobban ráhúzunk az adott r0 pontra, a div(v(r)) V-re vett integrálja egyre inkább a V-szer a konstans div(v(r0)) érték: div(v(r0)) = lim(r0 eleme V —> 0) 1/V* ∮(∂V)d_A_v(r), aminek a jelentése az egyre kisebb térfogat, ami az r0-át tartalmazza.
- Forrássűrűség, forrásosság, mivel megadja pl., hogy “egy pontból” mennyi folyadék folyik ki, de kis V térfogattal véges a határérték.
- Lokális megmaradási törvények felírása. Differenciális alak: ∂ρ/∂t + div(j) = 0, ahol ρ skalármező (az r körüli kis ΔV térfogatban ΔVρ(r,t) mennyiségű dolog van) és j vektormező ( r-nél egy kis ΔA felületen ΔAj(r,t) megy át s-enként).
- Adott v(r) vektormező esetén olyan vonalak, amik érintői minden r pontban az ottani v(r) irányba mutatnak, azaz a vektormező irányát mindenhol elkódolják. Ábrázolásnál: “annyi erővonal, amennyi a v értéke ott”. Adott felületen áthaladó erővonalak száma a mezőnek a felületi integrálja, azaz a fluxusa: egy felületdarabon valóban annyi erővonal megy át, amennyi a v(r) nagyságának és a dA-nak a v(r) irányú komponensének szorzata (ezeket öszeadva finomítós módszerrel megvan az integrál). Ha az erővonalaknak nincs elejük és végük, akkor a zárt felületekre vett integrál nulla, így a div(v) térfogatija is tehát ilyen esetben a vektormező divergenciája nulla (pl. elektromos térerősség ahol nincs töltés). Ha div(v) jól definiált értékeket vesz fel, akkor van elejük és végük a div(v)-nek megfelelő sűrűséggel.
- Egy térfogatban annyi, erővonal keletkezik (div_v_ térfogati integrálja), mint a belőle kilépők számából kivonva a belépőké (v a térfogat határára vett felületi integrálja).
STOKES-TÉTEL
- Irányítás szerepe?
- Határgörbe egyértelműsége?
- Levezetés?
- Rotáció szemléletes jelentése?
- Rotáció más néven?
- Rotáció iránya?
A rot_v_ vektormérték szerinti felületi integrálja megegyezik a v a felületet határoló zárt görbére vett vektormérték szerinti vonalintegráljával.
• Mindkét oldali integrálhoz irányítás kell. Akármelyik oldal lehet akárhogy irányítva, de a másik oldal jobbkéz-szabállyal kell, hogy kapcsolódjon az elsőhöz.
• Adott zárt görbéhez több felület is kijelölhető, aminek az a határa, de ezekre igaz, hogy a rot(v) ezek szerinti felületi integráljai megegyeznek, mivel a Gauss-tétel alapján ki lehet hozni, hogy divergencia rotációja nulla. Tehát mindegy, hogy rot(v) melyik felületre van integrálva, adott felületnek egyértelmű a határgörbéje.
• Be lehet látni először téglalapra, ami két koordinátatengely síkjában van, majd utána bármilyen más felületre, aminek a határgörbéje síkbeli görbe, mert az felosztható kis téglalapokra, a maradék forgács meg a nullához tart.
• d_A_ felírható n_dA-ként is, ahol n a felületre merőleges egységvektor. Így, ha a felületet egyre jobban ráhúzzuk egy adott r0 pontra, akkor az integrál értéke egyre jobban közelít az A_nrot(v) értékhez. Ez határértékkel felírva:
nrot(v(r0)) = lim(A —> 0) 1/A*∮d_r_v(r) — ahol a körintegrál nem nulla, ott valami örvény van, tehát a rotáció azt mondja meg, hogy „egy pontban mennyire örvénylik” a vektormező.
• Örvénysűrűség, örvényesség.
• Arra mutat, amire merőleges síkban a „lehető legjobban örvénylik” a vektormező az adott pontban. Erre az irányra merőlegesen nézve viszont egyáltalán nem örvénylik.
