8. Vektoranalízis-bevezető

Question 1

YOUNG-TÉTEL

• másképp?

Answer 1

Ha f(x,y,...) többváltozós fv. kétszer folytonosan diff.ható, akkor a különböző változók szerinti parciális deriváltak felcserélhetők.
Azaz: ∂(x)∂(y)f = ∂(y)∂(x)f

• ∂(k)∂(l) szimmetrikus mátrix minden pontban.

Question 2

Görbék megadása?

• Explicitből implicit?
• Implicitből explicit?
• Pl. kör paraméterezése az implicit alakból?

Answer 2

— explicit alak: y = f(x)
— implicit alak: F(x,y) = C = const.
— paraméteres alak: x(p), y(p) fv.pár (egy G: I —> R^2 függvény, ahol I = [p1;p2] és R^2 az (x,y) számpárok halmaza)
— polárkoordinátás alak: r(φ)

• f(x) = y —> f(x) – y = 0 (ez túlképpen már implicit alak)
• Nem mindig lehet így visszacsinálni, pl. ellipszisnél a gyökvonás miatt.
• A sin^2 + cos^2 = egy azonosságot használva kijön.

Question 3

Felületek megadása?

• Pl. gömb paraméterezése az implicit alakból?

Answer 3

— implicit alak: F(x,y,z) = C
— paraméteres alak: x(u,v), y(u,v), z(u,v) (két valós változó kell)

• Ugyanúgy a sin^2 + cos^2 = 1 azonossággal, csak itt két szöget kell bevezetni és ezt kétszer kell alkalmazni.

Question 4

Integrál alkalmazásai?

Answer 4

Görbe ívhossza: L = int._ a^b[sqrt(1 + y’^2(x))]dx
Forgástestek felszíne: A = 2π* int._a^b[y(x)sqrt(1 + y’^2(x))]dx
Forgástestek térfogata: π int._a^b[y^2(x)]dx

Question 5

Az exponenciális fv. hatványsora?

• Többi elemi fv. végtelen sorai?
• Deriváltak konvergens hatványsorok esetén?

Answer 5

Exp(z) = Σ(z^n/n!)

• Ch(z): páros számok faktoriálisa, z-k páros kitevőn, 1-gyel kezdődik, végig pluszok
Sh(z): páratlan számok faktoriálisa, z-k páratlan kitevőn, z-vel kezdődik, végig pluszok
Cos(z): páros számok faktoriálisa, z-k páros kitevőn, 1-gyel kezdődik, végig mínusz–plusz
Sin(z): páratlan számok faktoriálisa, z-k páratlan kitevőn, z-vel kezdődik, végig mínusz–plusz
• Lehet tagonként deriválni, így kijönnek az elemi fv.-ek deriváltjai is.

Question 6

PARCIÁLIS DERIVÁLÁS

• Mit mondd meg?
• Hányszor lehet alkalmazni?

Answer 6

A többváltozós függvényt a változós közül az egyik szerint deriváljuk (úgy, hogy a többit konstansnak tartjuk).

• Elvileg a függvénynek az adott változó szerinti változási gyorsaságát mondja meg egy adott helyen.
• Többször, ugyanúgy, mint a sima egyváltozósnál.

Question 7

Másodrendű felületek?

• Forgási oidok?
• Általános térbeli másodfokú kifejezés?

Answer 7

A kúpszeletek 3D-s megfelelői.

— a,b,c tengelyű ellipszoid : x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1
— z irányú tengelyű egyköpenyű hiperboloid: x^2/a^2 + y^2/b^2 – z^2/c^2 = 1
— z irányú tengelyű kétköpenyű hiperboloid: –x^2/a^2 – y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1
— z tengelyű paraboloid: x^2/a^2 + y^2/b^2 – z/c = 0
— hiperbolikus paraboloid: x^2/a^2 – y^2/b^2 – z/c = 1

• Ha a = b.
• αx^2 + βy^2 + γz^2 + 2cxy + 2bxz + 2ayz + Ax + By + Cz + K = 0 másodrendű felületet ad meg.